公理集合论

公理集合论

axiomatic set theory

用形式化公理化方法研究集合论的一个学科。数理逻辑的主要分支之一。

19世纪70 年代 ，德国数学家 G.康托尔给出了一个比较完整的集合论，对无穷集合的序数和基数进行了研究。20世纪初，罗素悖论指出了康托尔集合论的矛盾。为了克服悖论，人们试图把集合论公理化，用公理对集合加以限制。第一个常用的公理系统是E.F.F.策梅洛和A.A.弗伦克尔等提出的ZF系统。这个系统中只有一个非逻辑二元关系符号∈，非逻辑公理有：外延公理、空集公理、无序对公理、并集公理、幂集公理、无穷公理、分离公理模式、替换公理模式、正则公理 。如果加上选择公理就构成ZFC系统 。利用公理可以定义出空集、序对、关系、函数等集合，还可以给出序关系、良序关系、序数、基数，也可以给出自然数、整数、实数等概念。集合论中有关集合的性质，在公理集合论中都可以得到证明。公理系统中还可以证明公理之间的相对和谐性和独立性，例如 P.J.科恩于 1960 年创立公理集合论中的力迫法 ，并用来证明ZFC与连续统假设CH独立。公理集合论发展很快，马丁公理、苏斯林假设等新公理新方法已被广泛使用，组合集合论、描述集合论、大基数、力迫法的研究已经渗透到数学的各个分支。

ZF公理系统 ：

(ZF1) 外延公理 一个集合完全由它的元素所决定。如果两个集合含有同样的元素，则它们是相等的。

(ZF2) 空集合存在公理：即存在一集合s，它没有元素。

(ZF3) 无序对公理：也就是说，任给一集合x，存在第三个集合z，而z的元素恰好有两个，一个是x，一个是y

(ZF4) 并集公理：也就是说，任给一集合x，我们可以把x的元素的元素汇集到一起，组成一个新集合

(ZF5) 幂集公理：也就是说，任意的集合x，P（x）也是一集合

(ZF6) 无限公理：也就是说，存在一集合x，它有无穷多元素

(ZF7) 替换公理：也就是说，对于任意的公式A（x，y），对于任意的集合t，当x属于t时，都有y，使得A（x，y）成立的前提下，就一定存在一集合s，使得对于所有的x属于t，在集合s中都有一元素y，使A（x，y）成立。也就是说，由A（x，y）所定义的有序对的类的定义域在t中的时候，那么它的值域可限定在s中。

(ZF8) 正则公理：也叫基础公理。所有集都是良基集。说明一个集合的元素都具有最小性质，例如，不允许出现x属于x的情况。

注：(ZF3)可以由其他公理导出，所以有些场合不出现这条公理，与之类似的是“子集公理”。

(AC) 选择公理

对任意集 c 存在以 c 为定义域的选择函数 g,

使得对 c 的每个非空元集 x. g(x) 属于x

ZF集合公理系统加上AC就成为ZFC公理系统

注：ZF 为 Zermelo 及 Fraenkel