矩阵分解

矩阵分解 (decomposition, factorization)是将矩阵拆解为数个矩阵的乘积，可分为三角分解、满秩分解、QR分解、Jordan分解和SVD（奇异值）分解等，常见的有三种：1)三角分解法 (Triangular Factorization)，2)QR 分解法 (QR Factorization)，3)奇异值分解法 (Singular Value Decompostion)。

(1) 三角分解法

三角分解法是将原正方 (square) 矩阵分解成一个上三角形矩阵或是排列(permuted) 的上三角形矩阵和一个 下三角形矩阵，这样的分解法又称为LU分解法。它的用途主要在简化一个大矩阵的行列式值的计算过程，求 反矩阵，和求解联立方程组。不过要注意这种分解法所得到的上下三角形矩阵并非唯一，还可找到数个不同 的一对上下三角形矩阵，此两三角形矩阵相乘也会得到原矩阵。

MATLAB以lu函数来执行lu分解法， 其语法为[L,U]=lu(A)。

(2) QR分解法

QR分解法是将矩阵分解成一个正规正交矩阵与上三角形矩阵,所以称为QR分解法,与此正规正交矩阵的通用符号Q有关。

MATLAB以qr函数来执行QR分解法， 其语法为[Q,R]=qr(A)。

(3) 奇异值分解法

奇异值分解 (sigular value decomposition,SVD) 是另一种正交矩阵分解法；SVD是最可靠的分解法，但是它比QR 分解法要花上近十倍的计算时间。[U,S,V]=svd(A)，其中U和V代表二个相互正交矩阵，而S代表一对角矩阵。 和QR分解法相同者， 原矩阵A不必为正方矩阵。使用SVD分解法的用途是解最小平方误差法和数据压缩。

MATLAB以svd函数来执行svd分解法， 其语法为[S,V,D]=svd(A)。