贝塞尔函数
Bessel functions
利用柱坐标求解涉及在圆、球与圆柱内的势场的物理问题时出现的一类特殊函数。又称标函数。用柱坐标解拉普拉斯方程时，用分离变量法可以得到贝塞尔方程：
贝塞尔函数是贝塞尔方程的解，它们和其他函数组合成柱调和函数。除初等函数外，在物理和工程中贝塞尔函数是最常用的函数，它们以19世纪德国天文学家F.W.贝塞尔的姓氏命名，他在1824年第一次描述过它们。贝塞尔函数最早出现在涉及如悬链振荡，长圆柱体冷却以及紧张膜振动的问题中。贝塞尔函数的一族，也称第一类贝塞尔函数，记作Jn（x），用x的偶次幂的无穷和来定义，数 n称为贝塞尔函数的阶，它依赖于函数所要解决的问题。J0 （x）的图形像衰减的余弦曲线，J1（x）像衰减的正弦曲线(见图)。第二类贝塞尔函数(又称诺伊曼函数)，记作Yn（x），它由第一类贝塞尔函数的简单组合来定义。第三类贝塞尔函数（亦称汉克尔函数）定义为Hn＝Jn±iYn，其中i为虚数，用n阶(正或负)贝塞尔函数可解称为贝塞尔方程的微分方程。
贝塞尔函数是数学上的一类特殊函数的总称。贝塞尔函数的几个正整数阶特例早在18世纪中叶就由瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出了，当时引起了数学界的兴趣。
丹尼尔的叔叔雅各布·伯努利，欧拉、拉格朗日等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。1817年，德国数学家贝塞尔在研究开普勒提出的三体引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的总体理论框架，後人以他的名字来命名了这种函数。
利用柱坐标求解涉及在圆、球与圆柱内的势场的物理问题时出现的一类特殊函数。又称标函数。用柱坐标解拉普拉斯方程时，用到贝塞尔函数，它们和其他函数组合成柱调和函数。除初等函数外，在物理和工程中贝塞尔函数是最常用的函数，它们以19世纪德国天文学家F.W.贝塞尔的姓氏命名，他在1824年第一次描述过它们。贝塞尔函数最早出现在涉及如悬链振荡，长圆柱体冷却以及紧张膜振动的问题中。贝塞尔函数的一族，也称第一类贝塞尔函数，记作Jn（x），用x的偶次幂的无穷和来定义，数 n称为贝塞尔函数的阶，它依赖于函数所要解决的问题。J0 （x）的图形像衰减的余弦曲线，J1（x）像衰减的正弦曲线(见图)。第二类贝塞尔函数(又称诺伊曼函数)，记作Yn（x）。当n为非整数时，Yn(x)可以由第一类贝塞尔函数的简单组合来定义；当n为整数时，Yn(x)不能由第一类贝塞尔函数的简单组合得到，此时需要通过一个求极限过程来计算函数值。第三类贝塞尔函数（亦称汉克尔函数）定义为Hn＝Jn±iYn，其中i为虚数，用n阶(正或负)贝塞尔函数可解称为贝塞尔方程的微分方程。
历史
贝塞尔函数的几个正整数阶特例早在18世纪中叶就由瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出了，当时引起了数学界的兴趣。丹尼尔的叔叔雅各布·伯努利，欧拉、拉格朗日等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。1817年，德国数学家贝塞尔在研究开普勒提出的三体引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的总体理论框架，后人以他的名字来命名了这种函数
现实背景和应用范围
贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的（在圆柱域问题中得到的是整阶形式 α = n；在球形域问题中得到的是半奇数阶形式 α = n+½），因此贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位，最典型的问题有：
* 在圆柱形波导中的电磁波传播问题；
* 圆柱体中的热传导问题；
* 圆形（或环形）薄膜的振动模态分析问题；
在其他一些领域，贝塞尔函数也相当有用。譬如在信号处理中的调频合成（FMsynthesis）或凯泽窗（Kaiser window）以及波动声学中都要用到贝塞尔函数。