表述：设三面角∠P-ABC的三个面角∠BPC，∠CPA，∠APB所对的二面角依次为∠PA，∠PB，∠PC，则

Sin∠PA／Sin∠BPC=Sin∠PB／Sin∠CPA=Sin∠PC/Sin∠APB。

证明：过A做OA⊥平面BPC于O。过O分别做OM⊥BP于M与ON⊥PC于N。连结AM、AN。

显然，∠PB=∠AMO，Sin∠PB=AO／AM；∠PC=∠ANO，Sin∠PC=AO／AN。

另外，Sin∠CPA=AN／ＡＰ，Sin∠APB=ＡＭ／ＡＰ。

则Sin∠PB／Sin∠CPA＝ＡＯ×ＡＰ／（ＡＭ×ＡＮ）＝Sin∠PC/Sin∠APB。

同理可证Sin∠PA／Sin∠BPC=Sin∠PB／Sin∠CPA。即可得证三面角正弦定理。

全向量证明

三面角的全向量证明

 

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