代数闭链

代数闭链是代数几何和Hodge理论中的重要概念。

在一个复n维的代数簇M 中， 一条复p维的闭链 （cycle）如果可以用一些多项式方程组的零点集来定义， 就成为代数闭链， 比如记为 Z.

因为Z可以看成是实2p维闭链, 所以我们可以写为Z∈H_{2p}(M, Q ), 这里 Q是有理数域.

利用庞加莱对偶, 我们记[Z]∈H^{2p}(M, Q) 是Z 对应的上同调闭链。

由庞加莱对偶和Hodge分解在相交型下的正交性， 人们可以检验以下简单的事实：

H^{2p}(M, Q )中的代数闭链同调类全体包含于H^{2p}(M, Q )∩H^{p,p}(M).

这里 H^{1,1}(M) 是指M上的(1,1)形式同调类全体.

Hodge理论中最著名的Hodge猜想就是问：

上述的包含关系是不是可以替换位等号。 也就是说，

{H^{2p}(M, Q )中的代数闭链同调类全体}=于H^{2p}(M, Q )∩H^{p,p}(M).

这个著名的猜想是数学七大猜想之一， 也是最难于让大众了解的一个猜想.