三面角余弦定理
在三面角O-ABC中，设二面角B-OA-C为∠OA，则有：cos∠OA×sin∠AOB×sin∠AOC+cos∠AOB×cos∠AOC=cos∠BOC。
证明在OA上取一点D，过D作OD的垂线ＤＥ、ＤＦ分别交ＯＢ、ＯＣ于E与F。接着使用向量证明。
考虑有向线段OD、OE、OF、DE、DF。易知：
cos∠OA=DE·DF/(DE×DF)
sin∠AOB=DE/OE
sin∠AOC=DF/OF
cos∠AOB=OD·OE/(OD×OE)
cos∠AOC=OD·OF/(OD×OF)
cos∠BOC=OE·OF/(OE×OF)；
则实际是要证明：
DE·DF/(DE×DF)×DE/OE×DF/OF+OD·OE/(OD×OE)×OD·OF/(OD×OF)=OE·OF/(OE×OF)
再利用OD·OE=OD·OF=OD^2，可得出原式等价于
OD^2+DE·DF=OE·OF；
显然的，OE·OF=（OD+DE）·（OD＋DF）=OD^2+OD·DE+OD·DF+DE·DF，
注意到OD·DE=OD·DF=0，即可证明原式。
全向量证明