椭圆焦点三角形
椭圆的焦点三角形是指
以椭圆的两个焦点F1,F2与椭圆上任意一点P为定点组成的三角形。
运用公式：
设角F1F2P=α F2F1P=β F1PF2=θ
则有离心率e=sin(α+β)/sinα + sinβ
焦点三角形面积S=b^2tan2/θ
证明：设F1P=c F2P=b 2a=c+b
由射影定理得2c=ccosβ+bcosα
e=c/a=2c/2a=ccosβ+bcosα/c+b
由正弦定理e=sinαcosβ+sinβcosα/sinβ+sinα=sin(α+β)/sinα + sinβ
证明2：对于焦点△F1PF2，设PF1=m,PF2=n
则m+n=2a
在△F1PF2中,由余弦定理:
(F1F2)^2=m^2+n^2-2mncosθ
即4c^2=(m+n)^2-2mn-2mncosθ=4a^2-2mn(1+cosθ)
所以mn(1+cosθ)=2a^2-2c^2=2b^2
所以mn=2b^2/(1+cosθ)
S=(mnsinθ)/2.............(正弦定理的三角形面积公式)
=b^2*sinθ/(1+cosθ)
=b^2*[2sin(θ/2)cos(θ/2)]/2[cos(θ/2)]^2
=b^2*sin(θ/2)/cos(θ/2)
=b^2*tan(θ/2)