切比雪夫总和不等式
数学上的切比雪夫总和不等式，或切比雪夫不等式，以切比雪夫命名。它可以比较两组数积的和及两组数的线性和的积的大小：
若a1≥a2≥a3≥······≥an
和b1≥b2≥b3≥······≥bn，
则有n*(a1*b1+a2*b2+····+an*bn)≥(a1+a2+···+an)*(b1+b2+····+bn)≥n*(a1*bn+a2*bn-1+····+an*b1)。
上式也可以写作(a1*b1+a2*b2+····+an*bn)/n≥[(a1+a2+···+an)/n]*[(b1+b2+····+bn)/n]≥(a1*bn+a2*bn-1+····+an*b1)/n 。
它是由排序不等式而来。
证明设有a1≥a2≥a3≥······≥an
且b1≥b2≥b3≥······≥bn
由排序不等式可知，最大的和为顺序和：a1*b1+a2*b2+····+an*bn
于是有：
a1*b1+a2*b2+····+an*bn=a1*b1+a2*b2+····+an*bn
a1*b1+a2*b2+····+an*bn≥a1*b2+a2*b3+····+an*b1
a1*b1+a2*b2+····+an*bn≥a1*b3+a2*b4+····+an*b2
…………
a1*b1+a2*b2+····+an*bn≥a1*bn+a2*b1+····+an*bn-1
将这n个不等式分边相加，同时对右边进行因式分解，便得到：n*(a1*b1+a2*b2+····+an*bn)≥(a1+a2+···+an)*(b1+b2+····+bn)
两边都除以n，就得到切比雪夫不等式的第一个不等号:(a1*b1+a2*b2+····+an*bn)/n≥[(a1+a2+···+an)/n]*[(b1+b2+····+bn)/n]
同理，右边的不等号可由最小的和为逆序和推得。