Kronecker delta

在数学中，克罗内克函数（又称克罗内克δ函数、克罗内克δ、克罗内克符号）δij是一个二元函数，得名于德国数学家利奥波德·克罗内克。克罗内克函数的自变量（输入值）一般是两个整数，如果两者相等，则其输出值为1，否则为0。

克罗内克函数的值一般简写为δij。

克罗内克函数和狄拉克δ函数都使用δ作为符号，但是克罗内克δ用的时候带两个下标，而狄拉克δ函数则只有一个变量。

目录1 其它记法

2 数字信号处理

3 性质

3.1 线性代数中的应用

4 推广

5 积分表示

6 参见

其它记法另一种标记方法是使用艾佛森括号（得名于肯尼斯·艾佛森）：

同时，当一个变量为0时，常常会被略去，记号变为δi：

在线性代数中，克罗内克函数可以被看做一个张量，写作 。

数字信号处理File:Unit impulse.gif 冲激函数

类似的，在数字信号处理中，与克罗内克函数等价的概念是变量为 (整数)的函数：

这个函数代表着一个冲激或单位冲激。当一个数字处理单元的输入为单位冲激时，输出的函数被称为此单元的冲激响应。

性质克罗内克函数有筛选性：对任意 ：

如果将整数看做一个装备了计数测度的测度空间，那么这个性质和狄拉克δ函数的定义是一样的。

实际上，狄拉克δ函数是根据克罗内克函数而得名的。在信号处理中，两者是同一个概念在不同的上下文中的表现。一般设定为连续的情况（狄拉克函数） ，而使用i,j,k,l,m, andn等变量一般是在 离散的情况下（克罗内克函数）。线性代数中的应用在线性代数中，单位矩阵可以写作。

在看做是张量时（克罗内克张量），可以写作 。

这个(1,1)向量表示:

作为线性映射的单位矩阵。迹数。内积映射，将数量乘积表示为外积的形式。

推广以同样的方式，可以定义类似的多变量函数：

这个函数取值为1当且仅当上方的指标全都等于对应的下方指标，否则值为0.

积分表示对任意的整数n，运用标准的留数计算，可以将克罗内克函数表示成积分的形式：

其中积分的路径是围绕零点逆时针进行，这个表示方式与下面的另一形式等价：

。