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映射定理

王朝百科·作者佚名  2010-08-19  
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在泛函分析中,映射定理是一个基本的结果,它说明如果巴拿赫空间之间的连续线性算子是满射的,那么它就是一个开映射。更加精确地(Rudin 1973, 定理2.11):

如果X和Y是巴拿赫空间,A:X→Y是一个满射的连续线性算子,那么A就是一个开映射(也就是说,如果U是X内的开集,那么A(U)在Y内是开放的)。 该定理的证明用到了贝尔纲定理,X和Y的完备性都是十分重要的。如果仅仅假设X或Y是赋范空间,那么定理的结论就不一定成立。然而,如果X和Y是弗雷歇空间,那么定理的结论仍然成立。

结果开映射定理有一些重要的结果:

如果A:X→Y是巴拿赫空间X和Y之间的双射连续线性算子,那么逆算子A:Y→X也是连续的。(Rudin 1973, 推论2.12) 如果A:X→Y是巴拿赫空间X和Y之间的线性算子,且如果对于X内的每一个序列(xn),只要xn→ 0且Axn→y就有y= 0,那么A就是连续的(闭图像定理)。(Rudin 1973, 定理2.15)

证明我们需要证明,如果A :X→Y是巴拿赫空间之间的连续线性满射,那么A就是一个开映射。为此,只需证明A把X内的单位球映射到Y的原点的一个邻域。

设U,V分别为X和Y内的单位球。那么X是单位球的倍数k U的序列的交集,k∈N,且由于A是满射,

根据贝尔纲定理,巴拿赫空间Y不能是可数个无处稠密集的并集,故存在k> 0,使得A(kU)的闭包具有非空的内部。因此,存在一个开球B(c,r),其中心为c,半径r> 0,包含在A(kU)的闭包内。如果v∈V,那么c+r v和c位于B(c,r)内,因此是A(k U)的极限点,根据加法的连续性,它们的差rv是A(k U) −A(k U) ⊂A(2k U)的极限点。根据A的线性,这意味着任何v∈V都位于A(δ  U)的闭包内,其中δ=r / (2k)。于是可以推出,对于任何y∈Y和任何ε> 0,都存在某个x∈X,满足:

<IMG class=tex alt=" ||x||且<IMG class=tex alt=" quad ||y - Ax||

固定y∈δ V。根据(1),存在某个x 1,满足||x 1|| < 1且||y−A x 1|| <δ / 2。定义序列{xn}如下。假设:

<IMG class=tex alt=" ||x_{n}||且<IMG class=tex alt=" quad ||y-A(x_1+x_2+ cdots +x_n)||

根据(1),我们可以选择x n +1,使得:

<IMG class=tex alt=" ||x_{n+1}||且<IMG class=tex alt=" quad ||y-A(x_1+x_2+ cdots +x_n) - A(x_{n+1})||

因此x n +1满足(2)。设

从(2)的第一个不等式可知,{sn}是一个柯西序列,且由于X是完备的,sn收敛于某个x∈X。根据(2),序列A sn趋于y,因此根据A的连续性,有A x=y。而且:

<IMG class=tex alt="||x||=lim_{n

ightarrow infty} ||s_n|| leq sum_{n=1}^infty ||x_n||

这表明每一个y∈δ V都属于A(2 U),或等价地,X内的单位球的像A(U)包含了Y内的开球(δ / 2) V。因此,A(U)是Y内0的邻域,定理得证。

推广X 或Y 的局部凸性不是十分重要的,但完备性则是:当X和Y是F空间时,定理仍然成立。更进一步,这个定理可以用以下的方法与贝尔纲定理结合(Rudin, 定理2.11):

设X为F空间,Y为拓扑向量空间。如果A:X→Y是一个连续线性算子,那么要么A(X)是Y内的贫集,要么A(X) =Y。在后一个情况中,A是开映射,Y也是F空间。 更进一步,在这个情况中,如果N是A的核,那么A有一个标准分解,形如下式:

 
 
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