分裂引理
在数学中，更准确地是同调代数中，分裂引理（splitting lemma）说在任何阿贝尔范畴中，关于短正合序列的下列陈述是等价的。
给定一个具有映射q与r的短正合序列：
我们写出映射（可能不存在）的箭头t与u：
下列陈述是等价的：
1. 左分裂 存在一个映射t:B→A使得tq是A的恒等； 2. 右分裂 存在一个映射u:C→B使得ru是C的恒等； 3. 直和B同构于A与C的直和，q是A的自然内射而r是到C的投影。 如果上述陈述成立，短正合序列成为分裂的。
这使我们可改进第一同构定理：
这一同构定理说在上述短正合序列中 ； 如果序列分裂则 ，而第一同构定理恰是到C的投影。 这是线性代数中秩-零化度定理（ 的形式）的一个范畴推广。
证明首先证明 (3) 蕴含 (1) 与 (2)。我们假设 (3) 成立，取t为直和到A的自然投影，取u为C到直和的自然内射。
为了证明 (1) 晕含 (3)，首先注意到B中任何元素属于集合 (kert+imq)。这是因为对B中任意b，b= (b-qt(b)) +qt(b)；qt(b) 显然属于 imq，而 (b-qt(b)) 属于 kert，因为
t(b-qt(b)) =t(b) -tqt(b) =t(b) - (tq)t(b) =t(b) -t(b) = 0. 然后，imq与 kert的交集为 {0}，因若存在a属于A使得q(a) =b以及t(b) = 0，则 0 =tq(a) =a；从而b= 0。
这就证明了B是 imq与 kert的直和。故对所有b属于B，b可以惟一地等同于某个a属于A，k属于 kert，使得b=q(a) +k。
由正合性，kerrq=A，故 kerr= imq。子序列B→C→ 0 蕴含着r是映上的；从而对任意c属于C存在某个b=q(a) +k使得c=r(b) =r(q(a) +k) =r(k)。故对任意c属于C，存在k属于 kert使得c=r(k)，以及r(kert) =C。
如果r(k) = 0，则k属于 imq；因 imq与 kert的交集 = {0}，则k= 0。从而同态r: kert→C的限制是一个同构；且 kert同构于C。
最后 imq同构于A，因为 0 →A→B的正合性；故B同构于A与C的直和，这就证明了 (3)。
类似地可证明 (2) 蕴含 (3)。B中任何元素属于集合 kerr+ imu；因为对所有b属于B，b= (b-ur(b)) +ur(b)，这属于 in kerr+ imu。kerr与 imu的交集是 {0}，因若r(b) = 0 以及u(c) =b，则 0 =ru(c) =c。
由正合性，imq= kerr，以及q是一个内射，imq同构于A，故A同构于 kerr。由于ru是一个双射，u是一个内射，故 imu同构于C。所以B是A与C的直和。
非阿贝尔群这里所述的形式，分裂引理在全群范畴中不成立，它不是一个阿贝尔范畴。部分真它是部分真的：如果一个群短正合序列是左分裂或是直和（条件 1 或 3），则所有条件成立。对直和这是清楚的，因为直和给出的内射与投影。对一个左分裂序列，映射 给出一个同构，故B是一个直和（条件 3），从而取此同构之逆并与自然内射 复合给出一个分裂t的内射 （条件 2）。
但是如果一个短正合序列是右分裂的（条件 2），则未必是左正合的或是直和（条件 1 或条件 3 均未必成立）：问题是右分裂的像不必是正规的。在此情形B是一个半直积，一般不是一个直积。反例为了构造一个反例，取最小非阿贝尔群 ，三个字母的对成群。设A为交错子群，令 。令q与r分别表示包含映射与符号映射，从而
是一个短正合序列。条件 (3) 部成立，因为S3 不是阿贝尔群。但条件 (2) 成立：我们通过将生成元映到任意二阶循环定义u:C→B。注意条件 (1) 不成立：任何映射t:B→A必然将任何二阶循环映为单位，由拉格朗日定理。但每个置换是两个循环之乘积，故t是平凡映射，从而tq:A→A是平凡映射，而不是恒等。
相关条目第一同构定理 秩-零化度定理 半直积