黎曼流体

黎曼流形（Riemannian manifold）是一个微分流形，其中每点p的切空间都定义了点积，而且其数值随p平滑地改变。它容许我们定义弧线长度，角度，面积，体积，曲率，函数梯度及向量域的散度。

每个R的平滑子流形可以导出黎曼度量: 把R的点积都限制于切空间内。实际上，根据纳什嵌入定理, 所有黎曼流形都可以这样产生。

我们可以定义黎曼流形为和R的平滑子流形是等距同构的度量空间,等距是指其内蕴度量(intrinsic metric)和上述从R导出的度量是相同的。 这对建立黎曼几何是很有用的。

黎曼流形可以定义为平滑流形，其中给出了一个切丛的正定二次形的光滑截面。它可产生度量空间：

如果 γ : [a,b] →M是黎曼流形M中一段连续可微分的弧线，我们可以定义它的长度L(γ) 为

（注意：γ'(t) 是切空间M在γ(t)点的元素; ||·||是切空间的内积所得出的范数。)

使用这个长度的定义,每个连通的黎曼流形M很自然的成为一个度量空间（甚至是长度度量空间）：在x与y两点之间的距离d(x,y) 定义为：

d(x,y) =inf{ L(γ) : γ 是连接x和y的一条光滑曲线}。 虽然黎曼流形通常是弯曲的，“直线”的概念依然存在:那就是测地线.

在黎曼流形中,测地线完备的概念，和拓扑完备及度量完备是等价的：每个完备性都可以推出其他的完备性，这就是Hopf-Rinow定理的内容.。