智慧数

智慧数性质：一个自然数若能表示为两个自然数的平方差，则这个自然数为“智慧数”。

命题：形如2k+1或4k的形式必为智慧数，智慧数的形式必为2k+1或4k的形式，k≥1。

以下给予推导证明：

令P=a^2 -b^2（P、a、b均为正整数）

1、若a=2m（m≥1），b=2n（n≥1）

则P=4m^2 -4n^2=4(m^2 -n^2)，此时P为4k形式。

2、若a=2m（m≥1），b=2n+1（n≥0）

则P=4m^2 -4n^2-4n-1=4(m^2 -n^2 -n)-1，此时P为4k -1形式。

3、若a=2m+1（m≥1），b=2n（n≥1）

则P=4m^2+4m+1-4n^2=4(m^2+m- n^2)+1，此时P为4k+1形式。

4、若a=2m+1（m≥1），b=2n+1（n≥0）

则P=4m^2+4m+1-4n^2-4n-1=4(m^2+m- n^2-n)，此时P为4k形式。

又易知4k -1，4k+1包括了所有的奇数，即（4k+1）∪（4k -1）=2k+1

故P为2k+1或4k的形式，即智慧数为2k+1或4k的形式

又2k+1=（k+1）^2 –k^2，

4k=（k+1）^2 –(k-1)^2

故形如2k+1或4k的形式必为智慧数。命题得证.自然数列中最小的智慧数是3，第2个智慧数是5，从5起，依次是5， 7， 8; 9, 11, 12; 13, 15, 16; 17, 19, 20······ 即按2个奇数，一个4的倍数，三个一组地依次排列下去。