Binet-Cauchy定理

比内-柯西定理描述了矩阵的乘积与行列式的关系.

定理的内容设A,B分别为nXs,sXn矩阵,则有det(AB)=

(1) 0,当n>s

(2)detA X detB,当n=s

(3) ∑ det(A的第k1,k2......kn列子式) X det(B的第k1,k2......kn行子式)

1≤k1<k2<......<kn≤s

定理的证明我们令A=(aij),B=(bij),AB=C=(cij).可以构造n+s阶方阵M

A 0

M=

-I B

其中I为单位方阵. 并用两种方法计算M的行列式.(一)把M的第n+!,n+2......n+s行的第ak1,ak2......aks倍加到第k行去.(k=1,2......n)

则方阵M化为了方阵N

0 C

N=

-I B

显然detM=detN,再利用Laplace展开定理,对N的前n行进行展开,就有

detM = P detC.

其中P=det(-I)X(-1)^(1+2+......n+(s+1)+......+(s+n))=detC X (-1)^(s+ns)(二)对M的前n行直接做Laplace展开定理:

(1)当n>s时,M的前n行子式都为0,detM=0,则detC=det(AB)=0.

(2)当n=s时,只有A这个子式非0,det(AB)=detA X detB.

(3)当n<s时,计算所有nCs个非零子式(det(M中A的第k1,k2......kn列子式)) 与其代数余子式Q X det(-I',B)的乘积之和.

注意,这里-I'是原来的-I删除第k1,......kn列所得,并且Q=(-1)^(1+2+......+n+k1+......+kn).

用Laplace展开定理,按第k1,k2...kn行展开,注意到这n行在-I'的部分是0,所以只有一个非零子式,那就是B的第k1,......kn行所构成的子式:det(B的第k1,k2......kn行子式).也就是说,

det(-I',B)=R X det(B的第k1,k2......kn行子式).

这里R=(-1)^(s-n) X (-1)^(k1+......kn+ (s-n+1)+......s)

最后,我们总结上述结论并结合(一)的结论,就有

det(AB)= PQR ∑ det(A的第k1,k2......kn列子式) X det(B的第k1,k2......kn行子式)

1≤k1<k2<......<kn≤s

而PQR=1,定理得证