集合论
【概念】初中毕业升入高一级学校的同学们会一致发现自己所学的第一个数学概念就是：集合。这门研究集合的数学理论在现代数学中被恰当地称为集合论。它是数学的一个基本分支，在数学中占据着一个极其独特的地位，其基本概念已渗透到数学的所有领域。如果把现代数学比作一座无比辉煌的大厦，那么可以说集合论正是构成这座大厦的基石，由此可见它在数学中的重要性。其创始人康托尔也以其集合论的成就被誉为对二十世纪数学发展影响最深的学者之一。
【历史】集合论是德国著名数学家康托尔(G.Cantor)于19世纪末创立的。
。十九世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动。正是在这场运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集
这是集合论研究的开端。1874年，德国数学家康托尔在著名的《克雷尔数学杂志》上发表了关于无穷集合论的第一章革命性文章。从1874年到1884年，康托尔的一系列关于集合的文章，奠定了集合论的基础。他对集合所下的定义是：把若干确定的、有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，，其中各事物称为该集合的元素。
没想到集合论一诞生就遭到了许多数学家的激烈反对，当时的权威数学家克罗内克(Kronecker)非常敌视康托尔的集合论思想，时间达整整十年之久，法国数学大家庞加莱(Poincare)则预测后一代人将把集合论当作一种疾病。在猛烈的攻击下与过度的用脑思考中，康托尔本人一度成为这一激烈论争的牺牲品，他得了精神分裂症，几次陷于精神崩溃。然而乌云遮不住太阳，经历二十余年后，集合论最终获得了世界公认。到二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同。数学家们乐观地认为从算术公理系统出发，只要借助集合论的概念，便可以建造起整个数学的大厦。在1900年第二次国际数学大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了。我们可以说，现在数学已经达到了绝对的严格。”然而这种自得的情绪并没能持续多久。英国哲学家罗素(Russell)就很怀疑数学的这种严密性，他经过三
年的苦思冥想，于1902年找到了一个能证明自己观点的简单明确的“罗素悖论”。不久，集合论是有漏洞的消息迅速就传遍了数学界。
罗素构造了一个所有不属于自身（即不包含自身作为元素）的集合R。现在问R是否属于R？如果R属于R，则R应该满足R的定义，即R不应属于自身，因此R不属于R；另一方面，如果R不属于R，则R应该不满足R的定义，即R应属于自身，因此R属于R。这样，不论何种情况都存在着矛盾（为了使罗素悖论更加通俗易懂，罗素本人在1919年将其改写为“理发师悖论”）。这一仅涉及集合与属于两个最基本概念的悖论如此简单明了以致根本留不下为集合论漏洞辩解的
余地。号称“天衣无缝”、“绝对严密”的数学陷入了自相矛盾之中。从此整个数学的基础被动摇了，由此引发了数学史上的第三次数学危机。
危机产生后，众多数学家投入到解决危机的工作中去。1908年，德国数学家策梅罗(E.Zermelo)提出公理化集合论，试图把集合论公理化的方法来消除悖论。他认为悖论的出现是由于康托尔没有把集合的概念加以限制，康托尔对集合的定义是含混的．策梅罗希望简洁的公理能使集合的定义及其具有的性质更为显然。策梅罗的公理化集合论后来演变成ZF或ZFS公理系统。从此原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上，从而避免了悖论的出现。这就是集合论发展的第二个阶段：公理化集合论。与此相对应，在1908年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论。公理化集合论是对朴素集合论的严格处理。它保留了朴素集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论，因而较圆满地解决了第三次数学危机。公理化集合论的建立，标志着著名数学家希耳伯特所表述的一种激情的胜利，他大声疾呼：没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中赶出去
【一、集合论的诞生】集合论是德国著名数学家康托于19世纪末创立的。十七世纪，数学中出现了一门新的分支：微积分。在之后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果。其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础。十九世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动。正是在这场运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端。到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念。他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素。人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日。
【二、康托尔的不朽功绩】前苏联数学家柯尔莫戈洛夫评价康托尔的工作时说：“康托尔的不朽功绩在于他向无穷的冒险迈进”。因而只有当我们了解了康托尔在对无穷的研究中究竟做出了些什么结论后才会真正明白他工作的价值之所在和众多反对之声之由来。数学与无穷有着不解之缘，但在研究无穷的道路上却布满了陷阱。因为这一原因，在数学发展的历程中，数学家们始终以一种怀疑的眼光看待无穷，并尽可能回避这一概念。但试图把握无限的康托尔却勇敢地踏上了这条充满陷阱的不归路。他把无穷集这一词汇引入数学，从而进入了一片未开垦的处女地，开辟出一个奇妙无比的新世界。对无穷集的研究使他打开了“无限”这一数学上的潘多拉盒子。“我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集，用字母N来表示。”学过集合的所有人应该对这句话不会感到陌生。但在接受这句话时我们根本无法想到当年康托尔如此做时是在进行一项更新无穷观念的工作。在此以前数学家们只是把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着的东西来解释。无限永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在。这种关于无穷的观念在数学上被称为潜无限。十八世纪数学王子高斯就持这种观点。用他的话说，就是“……我反对将无穷量作为一个实体，这在数学中是从来不允许的。所谓无穷，只是一种说话的方式……”而当康托尔把全体自然数看作一个集合时，他是把无限的整体作为了一个构造完成了的东西，这样他就肯定了作为完成整体的无穷，这种观念在数学上称为实无限思想。由于潜无限思想在微积分的基础重建中已经获得了全面胜利，康托尔的实无限思想在当时遭到一些数学家的批评与攻击是无足为怪的。然而康托尔并未就此止步，他以完全前所未有的方式，继续正面探讨无穷。他在实无限观念基础上进一步得出一系列结论，创立了令人振奋的、意义十分深远的理论。这一理论使人们真正进入了一个难以捉摸的奇特的无限世界。最能显示出他独创性的是他对无穷集元素个数问题的研究。他提出用一一对应准则来比较无穷集元素的个数。他把元素间能建立一一对应的集合称为个数相同，用他自己的概念是等势。由于一个无穷集可以与它的真子集建立一一对应关系――也就是说无穷集可以与它的真子集等势，即具有相同的个数。这与传统观念“全体大于部分”相矛盾。而康托尔认为这恰恰是无穷集的特征。在此意义上，自然数集与正偶数集具有了相同的个数，他将其称为可数集。又可容易地证明有理数集与自然数集等势，因而有理数集也是可数集。后来当他又证明了代数数集合也是可数集时，一个很自然的想法是无穷集是清一色的，都是可数集。但出乎意料的是，他在1873年证明了实数集的势大于自然数集。这不但意味着无理数远远多于有理数，而且显然庞大的代数数与超越数相比而言也只成了沧海一粟，如同有人描述的那样：“点缀在平面上的代数数犹如夜空中的繁星；而沉沉的夜空则由超越数构成。”而当他得出这一结论时，人们所能找到的超越数尚仅有一两个而已。这是何等令人震惊的结果！然而，事情并未终结。魔盒一经打开就无法再合上，盒中所释放出的也不再限于可数集这一个无穷数的怪物。从上述结论中康托尔意识到无穷集之间存在着差别，有着不同的数量级，可分为不同的层次。他所要做的下一步工作是证明在所有的无穷集之间还存在着无穷多个层次。他取得了成功，并且根据无穷性有无穷种的学说，对各种不同的无穷大建立了一个完整的序列，他称为“超限数”。他用希伯莱字母表中第一个字母“阿列夫”来表示超限数的精灵，最终他建立了关于无限的所谓阿列夫谱系 它可以无限延长下去。就这样他创造了一种新的超限数理论，描绘出一幅无限王国的完整图景。可以想见这种至今让我们还感到有些异想天开的结论在当时会如何震动数学家们的心灵了。毫不夸张地讲，康托尔的关于无穷的这些理论，引起了反对派的不绝于耳的喧嚣。他们大叫大喊地反对他的理论。有人嘲笑集合论是一种“疾病”，有人嘲讽超限数是“雾中之雾”，称“康托尔走进了超限数的地狱”。作为对传统观念的一次大革新，由于他开创了一片全新的领域，提出又回答了前人不曾想到的问题，他的理论受到激烈地批驳是正常的。当回头看这段历史时，或许我们可以把对他的反对看作是对他真正具有独创性成果的一种褒扬吧。公理化集合论的建立 集合论提出伊始，曾遭到许多数学家的激烈反对，康托尔本人一度成为这一激烈论争的牺牲品。在猛烈的攻击下与过度的用脑思考中，他得了精神分裂症。
【 三、集合论的发展】然而集合论前后经历二十余年，最终获得了世界公认。到二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同。数学家们为一切数学成果都可建立在集合论基础上的前景而陶醉了。他们乐观地认为从算术公理系统出发，借助集合论的概念，便可以建造起整个数学的大厦。
在1900年第二次国际数学大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了。今天，我们可以说绝对的严格已经达到了。”然而这种自得的情绪并没能持续多久。不久，集合论是有漏洞的消息迅速传遍了数学界。这就是1902年罗素得出的罗素悖论。
罗素构造了一个所有不属于自身（即不包含自身作为元素）的集合R。现在问R是否属于R？如果R属于R，则R满足R的定义，因此R不应属于自身，即R不属于R；另一方面，如果R不属于R，则R不满足R的定义，因此R应属于自身，即R属于R。这样，不论何种情况都存在着矛盾。
这一仅涉及集合与属于两个最基本概念的悖论如此简单明了以致根本留不下为集合论漏洞辩解的余地。绝对严密的数学陷入了自相矛盾之中。这就是数学史上的第三次数学危机。危机产生后，众多数学家投入到解决危机的工作中去。
1908年，策梅罗提出公理集合论，后经改进形成无矛盾的集合论公理系统，简称ZF公理系统。原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上，从而避免了悖论的出现。这就是集合论发展的第二个阶段：公理化集合论。
与此相对应，在1908年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论。公理化集合论是对朴素集合论的严格处理。它保留了朴素集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论，因而较圆满地解决了第三次数学危机。
公理化集合论的建立，标志着著名数学家希耳伯特所表述的一种激情的胜利，他大声疾呼：没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中赶出去。从康托尔提出集合论至今，时间已经过去了一百多年，在这一段时间里，数学又发生了极其巨大的变化，包括对上述经典集合论作出进一步发展的模糊集合论的出现等等。而这一切都是与康托尔的开拓性工作分不开的。因而当现在回头去看康托尔的贡献时，我们仍然可以引用当时著名数学家对他的集合论的评价作为我们的总结。“它是对无限最深刻的洞察，它是数学天才的最优秀作品，是人类纯智力活动的最高成就之一。康托尔的无穷集合论是过去两千五百年中对数学的最令人不安的独创性贡献。”
这一点比较重要,数学家希望的是将数学建立在几个公理基础之上,而不是形式和表面。但哥德尔不完备定理的提出,打消了数学家的这个想法,数学和物理一样,都是在发展,而且有些理论也只是在一定范围内成立.随着研究对象的扩大和展开,会发现原有的理论只是在其原有范围内成立,随着新理论的建立,那么原有理论会作为在误差允许的范围内成立的一个特例. 上述典型的例子就是牛顿力学和相对论的关系
最终数学的三大学派均告失败,《数学方法论》一书说的好,数学不可能只以少数几个形式公理化的东西为基础,以有限立场的推理为工具就能证明整个数学的相容性,数学的发展也就不能以此来纯粹发展而脱离物理实际. 因为数学本身、基础性的东西来自于自然,比如自然数、逻辑关系、几何公理等,这样以来,当现在的物质世界研究变化的时候,数学也在跟着变化,抑或,数学上的发现某种程度上暗示了物质世界里存在这种东西,比如孤立子在数学上的突破,指导了物理上的发现.
为什么数学上的自洽性与物理学有关呢?大自然的存在说明了它本身的相容性,则数学上的自洽性可以从这其中来寻找,若是脱离了自然的物质世界的话,一些悖论和危机时解决不了的。那样的话,数学的发展就脱离了实际,典型的例子就是龟兔赛跑悖论问题