总变差

定义连续可微函数的总变差, 可由如下的积分给出

任意实值函数 ƒ 定义在区间 [a,b] 上的总变差, 由

定义. 其中 supP 对区间 [a,b] 中的所有分划 P 取上界.

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定义在有界区域上的实值可积函数 ƒ 的总变差, 定义为

其中 是 Ω 中的紧支集上全体连续可微向量函数构成的集合, 是本质上确界范数.

若 ƒ 可微,

可微定义的证明首先需要利用高斯散度定理证明一个等式.

引理

在假设条件下, 下面的等式成立:

引理证明

由高斯散度定理 . 将 代入, 可得

由于在 Ω 的边界上 , 从而

注意到 代入上式, 移项即得

.

如果函数 f 的总变差有限, 则称函数 f 为有界变差函数.