矩阵条件数

矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆的范数的乘积，即cond(A)=‖A‖·‖A-1‖，对应矩阵的3种范数，相应地可以定义3种条件数。 函数 cond(A,1)、cond(A)或cond(A) 是判断矩阵病态与否的一种度量，条件数越大矩阵越病态。

条件数事实上表示了矩阵计算对于误差的敏感性。对于线性方程组Ax=b，如果A的条件数大，b的微小改变就能引起解x较大的改变，数值稳定性差。如果A的条件数小，b有微小的改变，x的改变也很微小，数值稳定性好。它也可以表示b不变，而A有微小改变时，x的变化情况。

比如线性方程组

〔1 2 [x = [4

3.999 1] y] 7.999]

的解是(x,y)=(2,1),

而

〔1 2 [x = [4.001

3.999 1] y] 7.998]

的解是(x,y)=(-3.999,4.000)

可见b很小的扰动就引起了x很大的变化，这就是A矩阵条件数大的表现。

一个极端的例子，当A奇异时，条件数为无穷，这时即使不改变b，x也可以改变。奇异的本质原因在于矩阵有0特征值，x在对应特征向量的方向上运动不改变Ax的值。如果一个特征值比其它特征值在数量级上小很多，x在对应特征向量方向上很大的移动才能产生b微小的变化，这就解释了为什么这个矩阵为什么会有大的条件数，事实上，正规阵在二范数下的条件数就可以表示成 abs(最大特征值/最小特征值)。