埃尔米特多项式

在数学中，埃尔米特多项式是一种经典的正交多项式族，得名于法国数学家夏尔·埃尔米特。概率论里的埃奇沃斯级数的表达式中就要用到埃尔米特多项式。在组合数学中，埃尔米特多项式是阿佩尔方程的解。物理学中，埃尔米特多项式给出了量子谐振子的本征态。

定义前六个（概率论中的）埃尔米特多项式的图像。

埃尔米特多项式有两种常见定义。第一种是：

这是概率论中较为常用的形式。有时也会使用另一种定义：

这是物理学中较为常用的形式。这两种定义并不是完全等价的。它们之间的关系是：

下文中一般会使用第一种定义，也是概率学家偏好的定义。因为

是标准正态分布函数（数学期望等于0，标准差等于1）的概率密度函数。

前六个（物理学中的）埃尔米特多项式的图像。

前六个概率学的埃尔米特多项式的表达式为：

性质多项式Hn是一个n次的多项式。概率论的埃尔米特多项式是首一多项式（最高次项系数等于1），而物理学的埃尔米特多项式的最高次项系数等于2。正交性多项式Hn的次数与序号n相同，所以不同的埃尔米特多项式的次数不一样。对于给定的权函数w，埃尔米特多项式的序列将会是正交序列。

（对于概率论的埃尔米特多项式） （对于物理学的埃尔米特多项式）也就是说，当m≠n时：

除此之外，还有：

（对于概率论的埃尔米特多项式） （对于物理学的埃尔米特多项式）完备性在所有满足

的函数所构成的完备空间中，埃尔米特多项式序列构成一组基。其中的内积定义如下：