皮亚诺公理系统
皮亚诺公理，也称皮亚诺公设，是数学家皮亚诺(皮阿罗)提出的关于自然数的五条公理系统。根据这五条公理可以建立起一阶算术系统，也称皮亚诺算术系统。
皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下：
①1是自然数；
②每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数a' ，a' 也是自然数（一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数，例如，1的后继数是2，2的后继数是3等等）；
③如果b、c都是自然数a的后继数，那么b=c；
④1不是任何自然数的后继数；
⑤任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数1是对的，又假定它对自然数n为真时，可以证明它对n' 也真，那么，命题对所有自然数都真。（这条公理也叫归纳公设，保证了数学归纳法的正确性）
注：归纳公设可以用来证明1是唯一不是后继数的自然数，因为令命题为“n=1或n为其它数的后继数”，那么满足归纳公设的条件。
若将0也视作自然数，则公理中的1要换成0。
更正式的定义如下：
一个戴德金-皮亚诺结构为一满足下列条件的三元组(X, x, f)：
1、X是一集合，x为X中一元素，f是X到自身的映射；
2、x不在f的值域内；
3、f为一单射。
4、若A为X的子集并满足x属于A,且若a属于A, 则f(a)亦属于A则A=X。
该结构与由皮阿罗公理引出的关于自然数集合的基本假设是一致的：
1、P(自然数集)不是空集；
2、P到P内存在a->a直接后继元素的一一映射；
3、后继元素映射像的集合是P的真子集；
4、若P任意子集既含有非后继元素的元素，又有含有子集中每个元素的后继元素,则此子集与P重合。
能用来论证许多平时常见又不知其来源的定理！
例如:其中第四个假设即为应用极其广泛的归纳法第一原理（数学归纳法）的理论依据。