弹性理论基础
一、弹性介质的概念。产生弹性形变的介质叫弹性介质。（一）各向同性介质和各向异性介质对弹性介质，如果沿不同方向测定的物理性质均相同，称各向同性介质，否则是各向异性介质。（二）均匀介质、层状介质若介质的弹性性质不仅与测定方向无关，而且与坐标位置无关，就称为均匀介质； 非均匀介质中，介质的性质表现出成层性，称这种介质为层状介质；其中每一层是均匀介质；不同介质层的分界处称界面（平面或曲面）；两个界面之间的间隔称为该层的厚度。（三）连续介质将速度v是空间连续变化函数的介质定义为连续介质。连续介质是层状介质的一种极限情况。即当层状介质的层数无限增加，每层厚度无限减小，层状介质就过渡为连续介质，如 v=v0 (1+bz)叫线性连续介质。（四）单相介质和双相介质只考虑单一相态的介质称单相介质，由两种相态组成例如一种是固相一种是流相的，称为双相介质。
二、弹性模量（一）应力与应变1.应力：弹性体受力后产生的恢复原来形状的内力称内应力，简称为应力。 应力和外力相抗衡，阻止弹性体的形变。对于一个均匀各向同性的弹性圆柱体，设作用于s面上的法向应力为N，若力f在s面上均匀分布，则应力pn定义为 Pn=f/s ，若外力f非均匀分布，则可以取一小面元△S,作用于小面元上的力为△f，则应力定义为（lim(△f/△S)）。因此应力的数学定义为：单位横截面上所产生的内聚力称为内力。 根据力的分解定理，可以将力分解成垂直于单元面积的应力—法向应力（正应力）；相切于单元面积的应力—切向应力（剪切应力）。 2.应变：物理定义：弹性体受应力作用，产生的体积和形状的变化称为应变。只发生体积变化而形状不变的应变称正应变；反之，只发生形状变化的应变称切应变。数学定义：弹性理论中，将单位长度所产生的形变称应变。 3.应力与应变的关系： 应力与应变成正比关系的物体叫完全弹性体，虎克定律表示了应力与应变之间的线性关系。对于一维弹性体，虎克定律为： F=kx； F: 外力； x: 形变； k: 弹性系数。对于三维弹性体，用广义虎克定律表示应力与应变之间的关系。（二）弹性模量1.杨氏弹性模量（E） 表示膨胀或压缩情况下应力与应变的关系，所以又叫压缩模量。数学定义：物体受胀缩力时应力与应变之比。物理定义：杨氏弹性模量表示固体对所受作用力的阻力的度量。固体介质对拉伸力的阻力越大，则杨氏弹性模量大，物体越不易变形；反过来说，坚硬的不易变形的物体，杨氏弹性模量大。 2.泊松比（s） 在拉伸变形中，物体的伸长总是伴随着垂直方向的收缩，所以把介质横向应变与纵向应变之比称泊松比，显然泊松比是表示物体变形性质的一个参数，如果介质坚硬，，在同样作用力下，横向应变小，泊松比就小，可小到0.05 。而对于软的未胶结的土或流体，泊松比可高达0.45 —0.5。 3.体变模量（K） 设一物体，受到静水柱压力p 的作用，产生体积形变， △v/v, 其中v是物体的原体积， △v 是体积变化量。但形状未发生变化。则在这种情况下的应力与应变的比称为体变模量。体变模量表示物体的抗压性质，有时也称为抗压缩系数，其倒数称为压缩系数。 4.剪切模量（m） 指物体受剪切应力作用，并发生形状变化，应力与应变之比。m是阻止剪切应变的度量。液体的m=0，没有抗剪切能力。 5. 拉梅常数（l） 横向拉应力与纵向应变之比。 以上五个弹性常数E, k ,s, m ,l,中的任一个，均可用其余两个常数表示。