四垂心共线
四垂心共线作者:夏培贵引理如图 1（1）、（2），若AD∥BE，BD∥CE，且AD/BE=BD/CE，则A、B、C三点共线。 这不会有异议，就免去论证。
定理完全四边形中的四个三角形的垂心在同一条直线上。证明如图 2（1）、（2）、（3），设完全四边形ABCDEF中，△BCE、△ABF、△ADE、△DCF的垂心线依次为H1、H2、H3、H4；CH1交BH2、EH3于M、P；CH4交FH2、DH3于N、Q。由条件易知BH2∥EH3∥CH4，CH1∥FH2∥DH3，BH1∥AH3∥FH4，EH1∥AH2∥DH4。从而△BMC∽△CNF，△BH1M∽△H4FN。
∴ BM/CN=MC/NF， BM/NH4=MH1/NF。
∴ NH4·MH1=CN·MC（=BM·NF）。
∴ MH1/MC=CN/NH4。
∵ MC=NH2，CN=MH2，
∴ MH1/NH2=MH2/NH4。
而MH1∥NH2，MH2∥NH4。根据引理：
H1、H2、H4共线，H2在直线H1H4上。 （一）
又 △EPC∽△CQD，△EPH1∽△H4QD。
∴ CP/DQ=EP/CQ， PH1/DQ=EP/QH4。
∴ PH1·QH4=CP·CQ（=DQ·EP）。
∴ PH1/CP=CQ/QH4。
∵ CP=QH3，CQ=PH3，
∴ PH1/QH3=PH3/QH4。
而PH1∥QH3，PH3∥QH4。根据引理：
H1、H3、H4共线，H3在直线H1H4上。 （二）
由（一）和（二）可知：H1、H2、H3、H4共线。
四垂心共线特殊情形情形1当AE⊥BF、AF⊥DE时，如图3，H1、H2重合于D，B、D两点当然在同一条直线上。情形2当∠A为直角时，如图4，H2、H3重合于A，可仿前面结论（一）的证法证明H1、A、H4在同一条直线上。情形3当BF⊥DE时，如图5，H1、H4重合于C。由条件易知AH2∥EK，AH3∥FG，且四边形AGCK有三个直角，故为矩形。
证明：
由∠1=∠α=∠2，∠BGH2=∠DKA=90°及∠3=∠β=∠4，∠AGB=∠H3KD=90°，可知△BGH2∽△DKA及△ABG∽△H3DK。
∴ GH2/AK=BG/DK，AG/KH3=BG/DK。
∴ GH2/AK=AG/KH3。
∵ AK=GC，AG=KC，
∴ GH2/GC=KC/KH3，即 GH2/KC=GC/KH3。
而GH2∥KC，GC∥KH3。根据引理：
H2、C、H3共线。
综上所述可得：完全四边形中的四个三角形的垂心在同一条直线上。