伽利略变换
伽利略变换的完美证明
摘要：
爱因斯坦在创立相对论之初，对牛顿力学中使用伽利略变换研究惯性系理论提出了质疑，理由是：伽利略变换中默认了两惯性系采用相同的时间标准即t’ =t，如果没有这个默认，就会有t’≠t，于是爱因斯坦提出并证明了另一个变换即洛仑兹变换，作为否定和替代伽利略变换的唯一正确的变换。爱因斯坦对牛顿力学的指责一直成为牛顿力学的隐痛，成为人们怀疑牛顿理论的出发点，也成为相对论的立足点。本文证明了满足惯性系平权原理的变换只有伽利略变换，在伽利略变换中，t’=t可以被证明，从而消除了蒙在牛顿力学上的阴影。
爱因斯坦用其光速不变假设证明了洛仑兹变换，并得到了一个错误结论即“光速是最大速度”，这一错误结论深刻地印在了接触和学习相对论的人们的意识里。人们普遍认为在相对论里或在物理学里，讨论大于光速c的速度是没有意义的，一些认识到相对论是一个荒谬理论的人也总是试图寻找一种超光速运动粒子以期得到相对论的反证据，这些错误观念都是对洛仑兹变换及相对论盲目接受而造成的。我在《洛仑兹变换的困难》一文中论证了洛仑兹变换中的速度可以大于光速以至于无穷大，洛仑兹变换与伽利略变换的区别不在于它们所使用的速度的有限与无限，而在于粒子在一个惯性系中的速度趋于无限时，它在另一个惯性系中的速度有限还是无限。如果粒子在一个惯性系中的速度趋于无穷大，而在另一个惯性系中的速度趋于一有限值，就得到洛仑兹变换，显然这一条件违反惯性系平权原理。如果粒子在一个惯性系中的速度趋于无穷大，而在另一个惯性系中的速度也趋于无穷大，就得到伽利略变换，下面使用这一极限条件给出伽利略变换的严格证明。
设惯性系K’(x’,y’,z’,t’)沿惯性系K(x,y,z,t)的x轴正向以速度U=(u,0,0)匀速运动，自惯性系K到惯性系K’的正交线性变换为A=(aij) (i,j=1,2,3,4)，即
(x’,y’,z’,t’)=(x,y,z,t)A ①
令R=(x,y,z)，R’=(x’,y’,z’)，A11=(aij) (i,j=1,2,3)，A12=(ai4) (i=1,2,3)，A21=(a4j) (j=1,2,3)，A22=(a44)， 则由K到K’的线性变换可改写为
R’=RA11+tA21，t’=RA12+ta44 ②
于是
dR’/dt’=((dR/dt)A11+A21)/((dR/dt)A12+a44)
令dR/dt=V，dR’/dt’=V’，则V、V’分别表示运动粒子在K与K’系中的速度，上式可改写为
V’=(VA11+A21)/(VA12+a44) ③
满足上述速度变换的初始条件有（1）洛仑兹变换与伽利略变换的公共条件：“V’=0，V=U”与“V=0，V’=–U”；（2）满足伽利略变换的极限条件：|V|→∞时，|V’|→∞。
将条件（2）代入，并令V/|V|=V0得
|V’|=|(V0A11+A21/|V|)/(V0A12+a44/|V|)|=|V0A11/V0A12|=∞ (|V|→∞)
上式成立，必有A12’=0=(0,0,0) [注1]，于是③式变为
V’=VA11/a44+A21/a44 ④
再将条件（1）代入④式，得
UA11/a44+A21/a44=0，A21/a44=–U
由此得
A21=–UA11，A21 =–Ua44
由于U=(u,0,0)，代入上式便得a12=a13=a42=a43=0，a41=–a11u， a44=a11，再由A12’=(0,0,0)得a14=a24=a34=0，代入④式，并令V=(vx,vy,vz)，V’=(vx’,vy’,vz’)，便得
(vx’,vy’,vz’)=(a11(vx–u)+a21vy +a31vz，a22vy +a32vz，a23vy +a33vz)/a11 ⑤
由于对于vx’=0的点，vx =u，代入便得a21=a31=0；对于vy =0的点，vy’ =0，代入便得a32=0；对于vz =0的点，vz’ =0，代入便得a23=0，于是有
a12=a13= a14= a21=a23=a24= a31=a32=a34=a42=a43=0，a41=–a11u，a44=a11
将上述条件代入①式得
(x’,y’,z’,t’)=(x,y,z,t)A=(a11(x–ut)，a22y，a33z，a11t) ⑥
又当t=0时，K与K’两惯性系重合，故当t=0时，有x’=x，y’=y，z’=z [注2] ，代入⑥式便得a11=a22=a33=1，这样就得到了伽利略变换为
(x’,y’,z’,t’)=( x–ut，y，z，t) 证毕。
[注1] A12’表示A12的转置。
[注2]显然这一条件是相对论所不容许的，但其合理性是不容置疑的。如果在式⑥中直接代入洛仑兹变换证明中的假定a22=a33=1，或根据洛仑兹变换证明中使用的惯性系平权原理：自K’系到K系的线性变换为A(-U)，且A(U)A(-U)=E，亦能得到a11=a22=a33=1，从而得到伽利略变换，恕不赘述。