灰色去余控制理论
第五节 灰色去余控制理论及其应用
灰色去余控制理论，是我国著名的控制论专家邓聚龙先生针对灰色系统 的控制问题提出的一种优化控制方法。目前，这一方法已被广泛地应用于各 类系统的控制分析之中。下面介绍灰色去余控制理论及其在地理系统调控中 的应用。
一、灰色去余控制理论概述 (一)系统的结构模型
由第八章第二节的介绍，我们知道，一个系统的动态过程，可以用一定 的传递函数表示。如果 U 与 X 分别表示系统的输入与输出的拉普拉斯变换， 系统的传递函数记为 W，则有：
X
有时更习惯于用
= W (1)
U
W-1X=U (2) 表示系统的输入-输出关系。
若系统中有反馈 Z，将 X 反馈回输入端，则其动态关系为：
(3)式可以被写成：
X W
=
U 1 + WZ
1? WZ W
X ? U
(3)
或者 W-1 X = U - ZX (4)
上述关系式称为反馈系统的结构范式，或者称为系统的结构模型。 对于上述的系统结构模型，特作以下几点说明： (1)等号(=)是系统输入与输出的比较环节。等号左端的 X 为系统的输
出，右端的 U 为系统的输入。
(2)从系统的输入端 U 经过 W 到输出端 X 的通道称为主通道，W 称为主通 道的传递函数；将 X 经过 Z 反馈到输入端的通道称为反馈通道，Z 称为反馈 通道的传递函数，ZX 称为反馈项。
(3)结构模型等号左端 X 的系数 W-1 是主通道传递函数的倒数。
(4)反馈项 ZX 前面的符号代表反馈极性，“+”表示正反馈，“-”表示 负反馈。
(5)结构模型中的 X 与 U 可以是单一变量，也可以是多个变量构成的向 量；当 X 与 U 为向量时，W 与 Z 为矩阵。
(6)称 Z=0 的结构模型
为开环系统，称
W-1X=U
W-1X=U-ZX
为闭环系统。但是，这种叫法是相对的，事实上，带有反馈项的结构模 型同样可以化为无反馈的形式，譬如令：
W ?1 ? 1 ? WZ
Σ W
则有：
W ?1X ? U
上式在形式上是无反馈的开环系统，而实际上却是有反馈的闭环系统。 (7)系统的结构模型不是唯一的。
(二)灰色去余控制的基本思想 灰色去余控制理论认为，系统的动态品质的好坏，主要反映在闭环系统
传递函数 G 的结构与参数上，因此，要改善系统的动态品质，实现系统的优 化控制，就需要改变闭环系统的传递函数。
设原系统的结构模型为：
G-1X=U (5)
记预期的(优化的)系统为
G -1 X = U (6)
记两系统的逆传递函数矩阵G -1 与G _1之差为Q，即：
-1 -1
Q = G *
则原系统可以改写成：
-1
- G (7)
G * X = U + QX (8)
(8)式代表了主通道传递函数为 G*，反馈项为 QX 的系统。这说明原来的系统
G -1X = U，可以看作是由预期系统G -1 X = U与反馈项QX所组成。从预期系统
的动态品质来看，QX 项是多余的，故 QX 称为系统的多余项，它以“虚内反 馈”的形式作用在系统上，恶化了系统的动态品质。
当系统的多余项被分离出来后，则只要加入传递函数相等，反馈的输入
与输出相同，而极性相反的控制项抵消多余项，系统就可以得到令人满意的 品质。这种用外反馈抵消多余项的控制方法称为系统的去余控制。其去余过 程，可以用结构关系：
多余项 去余项
?1
G * X ? u ? QX ? QX
? ? ? ?
? ? ?
原系统
?
G?1 X? u
预期系统
及图 10-4 所示的框图来表示：
(三)灰色去余控制的途径、方式和准则 制定控制决策，以改善系统的动态品质，实现系统的优化控制，可以有
不同的途径、不同的方式和不同的准则。
1.控制决策的实施途径 (1)参数调整决策。这是指对系统结构参数的大小、符号进行改变，以改
善系统的动态品质。 (2)结构改变决策。通过从外部引入控制结构。譬如，加去余控制部分以
改善系统动态。
2.控制决策的方式
(1)通过系统的结构模型分解出多余项，然后采取去余控制措施，这种去 余控制常称为频域去余，或者结构去余。
(2)通过系统的状态模型实现去余，称为状态去余，或者时域去余。
3.控制策略的准则
(1)输入无偏准则。记系统的输入为 U，反馈为 z，则动态无偏准则为： J=U-z=min (9)
这里 z 可以是向量，譬如：
z=ZX (10) 在(10)式中，
? z11
?
? z21
z12
z 22
? z1n ?
?
? z2 n ?
Z ? ?
?
? ? ??
?
? zn1
zn2
? znn ?
(2)动态无偏准则。记 Gu 及 G*分别表示接受控制后以及预期的系统传递
函数，则动态无偏准则可以表示为：
-1 -1
J = G u - G *
= min(s) (11)
(11)式中，min(s)表示某一个系数尽可能小的 s 多项式的分式。 (3)状态无偏准则。记 Au 及 A*分别为接受了控制及预期的状态矩阵，则
状态无偏准则为：
J=Au-A*=min (12)
二、人工草地生态经济系统的优化调控模型 黄土高原曾是中华民族的摇篮，但长期以来，由于不合理的人类活动，
滥垦，滥殖，破坏了森林和草原，从而导致了干旱、风沙灾害、水土流失等。
日趋严重的环境问题，这些问题都直接或间接地影响着人类的生存。解放以 后，国家对黄土高原的治理工作非常重视。在科技人员与广大人民群众的努 力探索下，找到了一系列切实可行的治理措施，如植树造林、种草养畜、小 流域综合治理等。这些措施都对黄土高原农业生态系统的调控起到了积极的 作用。特别是种草养畜这一措施的推广实施，不但改善了生态环境，而且取 得了良好的经济效益。譬如，地处黄土丘陵区的山西省柳林县李家垣村，自
1979 年开始种草养兔，到 1983 年已形成了产业优势。阎文瑸、王学萌先生
曾根据该村五年种草养兔过程中所积累的有关数据(表 10-8)运用灰色建模 方法建立了系统的动态模型，并运用灰色去余控制理论提出了该人工草地生 态系统的优化调控策略，现在将他们的工作介绍如下。
(一)系统的动态模型 显然，售兔收入是系统的输出变量，而投资则是系统的输入变量或控制
变量。但售兔收入受诸多因素影响，除市场因素外，在生产过程中首先取决 于可供繁殖用的种兔及饲草来源的制约，而这两个因素又取决于投资。从投 资——生产——产品输出(即养兔收入)，有如下几个环节(见图 10-5)：
表 10-8 种草养兔生产数据
年 度 1979 1980 1981 1982 1983 序 号(i) 1 2 3 4 5 x( 0) (i)(元)
售兔收入 1 4834 7625 10500 11316 17818 x( 0) (i)( 只)
种兔只数 2 83 131 180 195 306 x( 0) (i)( 亩)
种草面积 3 146 212 233 259 404 x( 0) (i)( 元)
种兔投资 4 251 396 545 590 926 x( 0) (i)( 元)
种草投资 5 1218 1762 1941 2151 3360
在图 10-5 中，x1：售兔收入；x2：繁殖用种兔；x3：种草面积；x4：种
兔投资；x5：种草投资；u：初投资。
为此，我们需建立整个系统的模型，以便分析各环节间的动态关系以及 系统的优化调控决策。
1. 种兔与其投资环节以数据{x (0)
数据矩阵为：
(i)}与{x (0)
(i)}建立GM(1，2)模型, 构造
? 2 1
? 2 ?
? ? ? x ( 0) (i) ? ? x (0) (i) , ? x (0 ) (i)?
? 2
? ? i?1
? 3
2
i?1
2
? 4
? i? 1 ?
? 3 ?
? 148.5 647
? ? 1 ?? x ( 0) (i) ? ? x (0) (i) , ? x (0 ) (i)? ? ?
? 2
? ? i?1
2
i?1
? 4
? i? 1
? ?? 304,
1192 ?
X(2,
4) ? ?
? ? ? ?
? ? 1 ?
x ( 0) (i) ?
x (0) (i)?
? ?? 491.5,1782 ?
?? 2
(0 )
2
(i) ? ?
? 2 ? i?1
?
5
i?1
4
? i? 1
5
? ?? 742,
?
2708?
? 1 ?
?
( 0) ( ) ? ?
(0) ( )? ?
(0 ) ( ?
? ? x 2
? ? i?1
i x 2
i?1
i ?,
?
x 4
i? 1
i)?
?
(0)
(0)
(0)
(0) T
Y5 = [x 2
(2) ，x2
(3)，x 2
(4) ，x2
(5)] = [131，180，195，306]
按最小的乘法解系统辨识系数 a，b 为：
a
2.0078
? ? ? ?
? [ X(2,4)]?1 ·X(2,4) T ·Y ?
? ? 5 ? ?
?b ?
得该环节的微分方程为：
dx(1)
?0.6632 ?
2 ? 2.0078x(1)
dt
? 0.6632x(1)
(1)
(1)
(13)
记s为Laplace算子，则从投资x4
为：
到种兔x2
的动态环节框图及传递函数
2.种草及其投资环节 建立种草面积数据列{x (0)
的 GM(1，2)模型，系统辨识系数为：
(i)}与其投资数据{x( 0)
(i)}
?a ?
?1.9917 ?
? ? ? ? ?
该环节的微分方程为：
dx(1)
?b ?
?0.2395?
3 ? 1.9917x(1)
dt
? 0.2395x(1)
(14)
该动态环节框图及传递函数为：
3. 养兔收入与种兔、种草环节 根据数据列{x (0)
建立 GM(1，3)型，构造数据矩阵为：
(i)}，{x (0)
(i)}及{x (0)
(i)}
2 0 2 2 ?
?
? ? x( 0) (i) ? ? x( 0) (i) , ? x( 0) (i),
? x (0) (i)?
? ? 1
? ? i?1
3
1
i?1
2
? 2
? i?1
3
3
i?1 ?
3 ?
?
? ? x( 0) (i) ? ? x( 0) (i) , ? x( 0) (i),
? x (0) (i)?
X(1,
?
3) ? ?
? 1
? i?1
1
i?1
? 2
? i?1
3
i?1 ?
? 1 ? 4
3
( 0) ( 0)
4 4 ?
( 0) (0)
? ? ?? x1
(i) ? ? x1
(i)?, ? x2
(i),
? x 3
(i)?
? 2 ? i?1
? 1 ? 5
i?1
4
( 0) ( 0)
? i?1
? 5
i?1 ?
( 0) (0) ?
? ? ?? x1
(i) ? ? x1
(i)?, ? x2
(i),
? x 3
(i)?
? 2 ? i?1
i?1
? i?1
i?1 ?
? ? 8646.5 214 358 ?
? ? 17709 394 591 ?
? ? ?
? ? 28617 589 850 ?
? ?
?? 43134 895 1254?
(0)
(0)
(0)
(0) T T
Y5 = [x1
(2)，x1
(3)，x1
(4)，x1
(5)] = [7625，10500，11316，17818]
系统识别参数为：
a
? 2.0399 ?
? ?
b ? [ X(1,3) T ·X(1, 3)]? 1 ·X(1, 3) T ·Y
b2
? ?119.3953?
?? ? 0.749 ??
得其微分方程为：
dx(1)
1 ? 2.0399x (1)
? 119.3953x(1) ? 0.749x(1)
(15)
dt 1 2 3
相应的动态框图及传递函数为：
综合上述结果，可得到系统框图及各个环节的传递函数为(图 10-6)。
在图10 - 6中， ? 为加入系统中的一个灰色反馈参数。以x (1)
u(1)为输入，系统的传递函数为：
为输出，
Φ(s) ?
x(1) (s)
u(1) (s)
19.27(1 ? 0.502s)
? 0.1225s3 ? 0.74s2 ? (1.49 ? 9.674 ?
3 )s ? 1 ? 19.27 ?3
(16)
(二)系统的动态特征分析及优化调控模型
1.系统的动态特征分析 传递函数Φ(s)的分母为系统的特征多项式，通 过对它的分析，可以了解该系统的主要动态特征，考虑到经济生态系统中 3
阶变量的实际意义不大，故令 0.1225s3=0，则系统的特征方程为：
0.74s2 + (1.49 - 9.674 ?
系统的特征根为：
3 )s + 1 - 19.27 ? 3
2
= 0 (17)
s1,2
? (1.49 ? 9.674 ?3 )±
?
2
(1.49 ? 9.674 ?3 )
2×0.74
? 4×0.74(1 ? 19.27 ?3 )
①若(1.49 - 9.674 ?3 )
＞4×0.74(1- 19.27 ?3 )，则方程有两个不相等的
实根，系统动态一方面受正指数作用，另一方面受负指数的作用，因而其发 展是有限度的，会饱和的，即达到一定限额后，就会稳定在这一水平上，不 再发展。
②若(1.49 - 9.674 ?3 )
＜4×0.74(1- 19.27 ?3 )，则方程有两个复数根, 系
统将出现摆动，效益时高时低。
③ 令1.49 - 9.674 ?3
= 0，则 ?3
1.49
=
9.674
= 0.154 ，当 ?3
＞0.154时, 系统
的效益将不断增长，永无止境。不难看出，这时 ?3 是有下界而无上界的灰
色参数调节这个参数，将使系统保持良好发展。
④ 系统增长的快慢与系数 a 有关：
? (1.49 ? 9.674 ? )
9.674 ? ?1.49
a ? 3 ? 3
2×0.74
1.48
因为 a 是特征根的实数部分，若系统的动态有正指数成分，a 必是其中的一 部分，且 a 越大增长越快。
⑤ 特征方程式的根，若全为负实根，且 a 是其中绝对值最小者，则系统
的整个动态过程，也就是由初态发展到稳定态的限额过程，其时间长短可用
τ = 3～4 1 进行估计。
a
2.系统的优化调控模型 灰色去余控制理论告诉我们，要实现系统的优化 调控，只有将影响系统理想品质的多余项去掉，才能达到目的。为此，需要 在原系统的结构模型中加入一个与多余项的传递函数相等，符号相反的去余 项，以抵消多余项的作用。在原系统的结构模型中，容易看出，这个多余项
就是在前面加入系统中的灰色参数 ?3 。
通过前面的分析，我们知道，系统的传递函数为：
(1)
X1 19.27(1 ? 0.502s)
U (1)
?
0.74s2 ? (1.49 ? 9.674 ?
3 )s ? 1 ? 19.27 ? 3
(18)
因为种草养兔业生产属于生物生产过程，系统的变化较慢，系统 2 阶变
量也可以暂不考虑，即令 0.74s2=0，则系统微分方程可以写成：
dx (1)
1
(1)
(1.49 ? 9.674 ?3 )
+ (1- 19.27 ? )x
dt 3 1
= 19.27 μ (1)
+ 9.67 μ (0)
(19)
时间响应函数为：
(1) ( ) ? (
( 0) (1) ?
(1) ?
( 0) 1 ? 19.27 ? 3 ?
(1) ?
( 0)
(20)
x1 t x 1
c1u c2 u
e1. 49 ?9. 874 ?
t c1 u c 2 u
考虑 e 的正指数因数，以保持系统的稳定增长，则：
1
19.27 ?3 ＞1
? 3 ＞
19.27
= 0.052
9.674 ? ＜1
1
? ＜ ? 0.103
3 3 9.674
即，将 ? 3 调节在0.052 ≤ ? 3 ≤0.103的范围内。就可保持系统能够
满足我们希望的品质。这一决策表明，经过优化，去余项?3 由大于0.154 ，
且只有下界而无上界的灰色参数，可进一步控制在 0.052—0.103 的灰色区间 内，从而为决策者提供了便于择优控制的范围。事实上，从养兔收入中提取
5.2％至 10.3％的资金用于系统再生产的投资，在实际生产中是完全可以做
到的，而且也清楚地反映出养兔是一种投资小收益大的生产事业，在经济条 件尚有困难的地区也是容易推广的富民事业。