西罗定理
定义设p是一个质数；则可定义一个G的西罗p-子群(有时称为p-西罗子群)，其为G的最大p-子群(即一个其为p-群且不为其他G之p-子群的纯子群之子群)。所有给定一质数p之西罗p-子群所组成之集合有时会写成Sylp(G)。在一种或另一种意思下皆为最大之子群的集合在群论中并没有不一样。这里很不可思议的为在Sylp(G)内的例子，每个元素都会实际地同构于另一个元素；且此一性质可以被用来决定G的其他性质。
例子设G为一个其目为15 = 3 · 5的群，则n3必须整除5，且n3=1 mod 3。其中唯一满足上述限制的值只有1；因此，只存在一个其目为3的子群，且其必须为正规子群(因为其没有其他的共轭)。相似地，n5会整除3，且n5=1 mod 5；因此亦只有一个其目为5的正规子群。当3和5为互质时，此两个子群的交集为当然群，所以G必须要是个循环群。因此，只存在一个其目为15的群(以同构来分)，标记为Z/15Z。
举另一个更复杂的例子来说，可证明不存在一个其目为350的简单群。若|G| = 350 = 2 · 5· 5 · 7，则n5必须整除14(=2·7)，且n5 = 1 mod 5。因此，n5=1(因为6和11都不会整除14)，而因此G必然会有一个其目为25的正规子群，故不可能为简单群。
参考文献Florian Kammüller and Lawrence C. Paulson. "A Formal Proof of Sylow's Theorem: An Experiment in Abstract Algebra with Isabelle HOL". University of Cambridge, UK. 2000. link
H. Wielandt. "Ein Beweis für die Existenz der Sylowgruppen". Archiv der Mathematik, 10:401-402, 1959.