费马数
也叫费马质数或费马素数.
法国数学家费马于1640年提出了以下猜想:
可以发现
F0=2^(2^0)+1=3
F1=2^(2^1)+1=5
F2=2^(2^2)+1=17
F3=2^(2^3)+1=257
F4=2^(2^4)+1=65537
F5=2^(2^5)+1=4294967297
F6=2^(2^6)+1=274177 × 67280421310721
F7=2^(2^7)+1=59649589127497217 × 5704689200685129054721
F8=2^(2^8)+1=1238926361552897 ×93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321
F9=2^(2^9)+1=2424833 × 7455602825647884208337395736200454918783366342657 × 741640062627530801524787141901937474059940781097519023905821316144415759504705008092818711693940737
F10=2^(2^10)+1=45592577 × 6487031809 × 4659775785220018543264560743076778192897 × P252
F11=2^(2^10)+1=319489 × 974849 × 167988556341760475137 × 3560841906445833920513 × P564
前5个是质数,因为第6个数实在太大了,费马认为是质数.
由此提出(费马没给出证明),形如Fn=2^(2^n)+1 的数都是质数的猜想.后来人们就把形如2^(2^n)+1的数叫费马数.
1732年,欧拉算出F5=641*6700417,不是质数,宣布了费马的这个猜想不成立,它不能作为一个求质数的公式.以后,人们又陆续找到了不少反例,如n=6时,F6=2^(2^6)+1=274177*67280421310721,不是质数.至今这样的反例共找到了46个,却还没有找到第6个正面的例子,也就是说目前只有n=0,1,2,3,4这5个情况下,Fn才是质数.甚至有人猜想：费马数N≥4时，费马数全是合数!
早已经有人证明，费马数的因数必然是2ˇ（n+2)k+1形，注：（n+2)是右上标。例如n=5时，4294967297=(128x5+1)x(128x52347+1).其中128就是2的7次方。
即5+2次方。
实际上几千年来,数学家们一直在寻找这样的一个公式,一个能求出所有质数的公式;但直到现在,谁也未能找到这样一个公式,而且谁也未能找到证据,说这样的公式就一定不存在;这样的公式存不存在,也就成了一个著名的数学难题.。参见王朝百科“素数普遍公式”和“孪生素数普遍公式”。那里有可以构造一切素数的普遍公式。
虽然费马数作为一个关于指数公式的尝试失败了,但有意思的是,1801年数学家高斯证明:如果费马数K为质数,那么就可以用直尺和圆规将圆周k等分.高斯本人就根据这个定理作出了正十七边形.