数学归纳法

概述数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。

基本步骤（一）第一数学归纳法：

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：

（1）证明当n取第一个值时命题成立；

（2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

（二）第二数学归纳法：

对于某个与自然数 有关的命题 ，

（1）验证 n=n0时 P(n)；

（2）假设 no<n<k时 P(n)成立，并在此基础上，推出 P(k+1)成立。

综合（1）（2）对一切自然数 n(>n0)，命题P(n)都成立；

（三）倒推归纳法（反向归纳法）：

（1）对于无穷多个自然数命题 P（n）成立；

（2）假设P(k+1)成立，并在此基础上推出P(k)成立，

综合（1）（2），对一切自然数 n(>n0)

,命题P(n)

都成立；

（四）螺旋式归纳法

P（n），Q（n）为两个与自然数 有关的命题，假如

（1）P(n0)成立；

（2）假设 P(k) (k>n0)成立，能推出Q(k)

成立，假设 Q(k)成立，能推出 P(k+1)成立；

综合（1）（2）,对于一切自然数n（>n0），P(n),Q(n)都成立；

应用1.确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。

2.数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式。

3.证明数列前n项和与通项公式的成立

历史已知最早的使用数学归纳法的证明出现于 Francesco Maurolico 的 Arithmeticorum libri duo (1575年)。Maurolico 利用递推关系巧妙的证明出证明了前 n 个奇数的总和是 n^2，由此揭开了数学归纳法之谜。

最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有自然数时一个表达式成立，这种方法是由下面两步组成:

递推的基础: 证明当n = 1时表达式成立。

递推的依据: 证明如果当n = m时成立，那么当n = m + 1时同样成立。

这种方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的。如果这两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中。

或许想成多米诺效应更容易理解一些，如果你有一排很长的直立着的多米诺骨牌那么如果你可以确定：

第一张骨牌将要倒下，只要某一个骨牌倒了，与他相临的下一个骨牌也要倒，那么你就可以推断所有的的骨牌都将要倒。

这样就确定出一种递推关系，只要满足两个条件就会导致所有骨牌全都倒下：

（1）第一块骨牌倒下

（2）任意两块相邻骨牌，只要前一块倒下，后一块必定倒下

这样，无论有多少骨牌，只要保证（1）（2）成立，就会全都倒下。