双曲线

王朝百科·作者佚名  2009-12-07  
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双曲线

·双曲线的第一定义数学上指一动点移动于一个平面上,与平面上两个定点F1,F2的距离之差的绝对值始终为一定值2a(2a小于F1和F2之间的距离即2a<2c)时所成的轨迹叫做双曲线(Hyperbola)。两个定点F1,F2叫做双曲线的左,右焦点(focus)。两焦点的距离叫焦距,长度为2c。其中2a在坐标轴上的端点叫做顶点叫顶点c^2=a^2+b^2 (a=半长轴,b=半短轴)

·双曲线的第二定义1.文字语言定义:

平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数。定点是双曲线的焦点,定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。

2.集合语言定义:

设 双曲线上有一动点M,定点F,点M到定直线距离为d,

这时称集合{M| |MF|/d=e,e>1}表示的点集是双曲线.

注意:定点F要在定直线外 且 比值大于1.

3.标准方程

设 动点M(x,y),定点F(c,0),点M到定直线l:x=a^2/c的距离为d,

则由 |MF|/d=e>1.

推导出的双曲线的标准方程为

(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1

其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.

这是中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程.

而中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程为:

(y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1.

·双曲线的简单几何性质1、轨迹上一点的取值范围:x≥a,x≤-a(焦点在x轴上)或者y≥a,y≤-a(焦点在y轴上)。

2、对称性:关于坐标轴和原点对称。

3、顶点:A(-a,0), A'(a,0)。同时 AA'叫做双曲线的实轴且∣AA'│=2a.

B(0,-b), B'(0,b)。同时 BB'叫做双曲线的虚轴且│BB'│=2b.

4、渐近线:

焦点在x轴:y=±(b/a)x.

焦点在y轴:y=±(a/b)x.圆锥曲线ρ=ep/1-ecosθ当e>1时,表示双曲线。

令1-ecosθ=0可以求出θ,这个就是渐近线的倾角。θ=arccos(1/e)

令θ=0,得出ρ=ep/1-e, x=ρcosθ=ep/1-e

令θ=PI,得出ρ=ep/1+e ,x=ρcosθ=-ep/1+e

这两个x是双曲线定点的横坐标。

求出他们的中点的横坐标(双曲线中心横坐标)

x=【(ep/1-e)+(-ep/1+e)】/2

(注意化简一下)

直线ρcosθ=【(ep/1-e)+(-ep/1+e)】/2

是双曲线一条对称轴,注意是不与曲线相交的对称轴。

将这条直线顺时针旋转PI/2-arccos(1/e)角度后就得到渐近线方程,设旋转后的角度是θ’

则θ’=θ-【PI/2-arccos(1/e)】

则θ=θ’+【PI/2-arccos(1/e)】

带入上式:

ρcos{θ’+【PI/2-arccos(1/e)】}=【(ep/1-e)+(-ep/1+e)】/2

即:ρsin【arccos(1/e)-θ’】=【(ep/1-e)+(-ep/1+e)】/2

现在可以用θ取代式中的θ’了

得到方程:ρsin【arccos(1/e)-θ】=【(ep/1-e)+(-ep/1+e)】/2

5、离心率:

第一定义: e=c/a 且e∈(1,+∞).

第二定义:双曲线上的一点P到定点F的距离│PF│ 与 点P到定直线(相应准线)的距离d 的比等于双曲线的离心率e.

6、双曲线焦半径公式(圆锥曲线上任意一点P(x,y)到焦点距离)

右焦半径:r=│ex-a│

左焦半径:r=│ex+a│

7、等轴双曲线

一双曲线的实轴与虚轴长相等 即:2a=2b 且 e=√2

8、共轭双曲线

双曲线S'的实轴是双曲线S的虚轴 且 双曲线S'的虚轴是双曲线S的实轴时,称双曲线S'与双曲线S为共轭双曲线。

几何表达:S:(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 S':(y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1

特点:(1)共渐近线

(2)焦距相等

(3)两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1

9、准线: 焦点在x轴上:x=±a^2/c

焦点在y轴上:y=±a^2/c

10、通径长:(圆锥曲线(除圆外)中,过焦点并垂直于轴的弦)

d=2b^2/a

11、过焦点的弦长公式:

d=2pe/(1-e^2cos^2θ) 或 2p/sin^2θ [p为焦点到准线距离,θ为弦与X轴夹角]

12、弦长公式:

d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2 推导如下:

由 直线的斜率公式:k = (y1 - y2) / (x1 - x2)

得 y1 - y2 = k(x1 - x2) 或 x1 - x2 = (y1 - y2)/k

分别代入两点间的距离公式:|AB| = √[(x1 - x2)&sup2; + (y1 - y2)&sup2; ]

稍加整理即得:

|AB| = |x1 - x2|√(1 + k&sup2;) 或 |AB| = |y1 - y2|√(1 + 1/k&sup2;)

·双曲线的标准公式与反比例函数X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1(a>0,b>0)

而反比例函数的标准型是 xy = c (c ≠ 0)

但是反比例函数确实是双曲线函数经过旋转得到的

因为xy = c的对称轴是 y=x, y=-x 而X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1的对称轴是x轴,y轴

所以应该旋转45度

设旋转的角度为 a (a≠0,顺时针)

(a为双曲线渐进线的倾斜角)

则有

X = xcosa + ysina

Y = - xsina + ycosa

取 a = π/4

X^2 - Y^2 = (xcos(π/4) + ysin(π/4))^2 -(xsin(π/4) - ycos(π/4))^2

= (√2/2 x + √2/2 y)^2 -(√2/2 x - √2/2 y)^2

= 4 (√2/2 x) (√2/2 y)

= 2xy.

而xy=c

所以

X^2/(2c) - Y^2/(2c) = 1 (c>0)

Y^2/(-2c) - X^2/(-2c) = 1 (c<0)

由此证得,反比例函数其实就是双曲线函数

 
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