傅里叶级数
傅里叶级数
Fourier series
一种特殊的三角级数。法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明多元三角级数球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯 - 博赫纳球形平均的许多特性。傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用。
============================================================================================================
傅里叶级数的公式
给定一个周期为T的函数x(t)，那么它可以表示为无穷级数：
<math>x(t)=sum _{k=-infty}^{+infty}a_kcdot e^{jk(frac{2pi}{T})t}</math>（j为虚数单位）（1）
其中，<math>a_k</math>可以按下式计算：
<math>a_k=frac{1}{T}int_{T}x(t)cdot e^{-jk(frac{2pi}{T})t}</math>（2）
注意到<math>f_k(t)=e^{jk(frac{2pi}{T})t}</math>是周期为T的函数，故k 取不同值时的周期信号具有谐波关系（即它们都具有一个共同周期T）。k=0时，（1）式中对应的这一项称为直流分量，<math>k=pm 1</math>时具有基波频率<math>omega_0=frac{2pi}{T}</math>，称为一次谐波或基波，类似的有二次谐波，三次谐波等等。
傅里叶级数的收敛性
傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下：
在任何周期内，x(t)须绝对可积；
在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值；
在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。
吉布斯现象：在x(t)的不可导点上，如果我们只取(1)式右边的无穷级数中的有限项作和X(t)，那么X(t)在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号。
三角函数族的正交性
所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0，这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性,例如，在三维欧氏空间中，互相垂直的向量之间是正交的。事实上，正交是垂直在数学上的的一种抽象化和一般化。一组n个互相正交的向量必然是线形无关的，所以必然可以张成一个n维空间，也就是说，空间中的任何一个向量可以用它们来线形表出。三角函数族的正交性用公式表示出来就是：
<math>int _{0}^{2pi}sin (nx)cos (mx) ,dx=0;</math>
<math>int _{0}^{2pi}sin (mx)sin (mx) ,dx=0;(m
e n)</math>
<math>int _{0}^{2pi}cos (mx)cos (mx) ,dx=0;(m
e n)</math>
<math>int _{0}^{2pi}sin (nx)sin (nx) ,dx=pi;</math>
<math>int _{0}^{2pi}cos (nx)cos (nx) ,dx=pi;</math>
奇函数和偶函数
奇函数<math>f_o(x)</math>可以表示为正弦级数，而偶函数<math>f_e(x)</math>则可以表示成余弦级数：
<math>f_o(x) = sum _{-infty}^{+infty}b_k sin(kx);</math>
<math>f_e(x) = frac{a_0}{2}+sum _{-infty}^{+infty}a_kcos(kx);</math> 只要注意到欧拉公式: <math>e^{jheta}= sin heta+jcos heta</math>，这些公式便可以很容易从上面傅里叶级数的公式中导出。
广义傅里叶级数
任何正交函数系<math>{ phi(x)}</math>，如果定义在[a,b]上的函数f(x)只具有有限个第一类间断点，那么如果f(x)满足封闭性方程：
<math>int _{a}^{b}f^2(x),dx=sum _{k=1}^{infty}c^{2}_{k}</math> (4)，
那么级数<math>sum _{k=1}^{infty} c_kphi _k(x)</math> (5) 必然收敛于f(x)，其中:
<math>c_n=int _{a}^{b}f(x)phi_n(x),dx</math> (6)。
事实上，无论（5）时是否收敛，我们总有：
<math>int _{a}^{b}f^2(x),dx ge sum _{k=1}^{infty}c^{2}_{k}</math>成立，这称作贝塞尔(Bessel)不等式。此外，式（6）是很容易由正交性推出的，因为对于任意的单位正交基<math>{e_i}^{N}_{i=1}</math>，向量x在<math>e_i</math>上的投影总为<math><x,e_i></math> 。