卡塔兰数
卡塔兰数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。由以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名。
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卡塔兰数性质应用
卡塔兰数卡塔兰数的一般项公式为 <math>C_n = frac{1}{n+1}{2n choose n} = frac{(2n)!}{(n+1)!n!}</math>
前几项为（OEIS中的数列A000108）: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...
性质Cn的另一个表达形式为<math>C_n = {2nchoose n} - {2nchoose n-1} quadmbox{ for }nge 1</math> 所以，Cn是一个自然数；这一点在先前的通项公式中并不显而易见。这个表达形式也是André对前一公式证明的基础。(见下文的第二个证明。)
卡塔兰数满足以下递推关系
<math>C_0 = 1 quad mbox{and} quad C_{n+1}=sum_{i=0}^{n}C_i,C_{n-i}quadmbox{for }nge 0.</math> 它也满足 <math>C_0 = 1 quad mbox{and} quad C_{n+1}=frac{2(2n+1)}{n+2}C_n,</math>
这提供了一个更快速的方法来计算卡塔兰数。
卡塔兰数的渐近增长为 <math>C_n sim frac{4^n}{n^{3/2}sqrt{pi}}</math>
它的含义是左式除以右式的商趋向于1当n→ ∞。（这可以用n!的斯特灵公式来证明。）
所有的奇卡塔兰数Cn都满足<math>n=2^k-1</math>。所有其他的卡塔兰数都是偶数。
应用组合数学中有非常多的组合结构可以用卡塔兰数来计数。在Richard P. Stanley的Enumerative Combinatorics: Volume 2一书的习题中包括了66个相异的可由卡塔兰数表达的组合结构。以下用Cn=3和Cn=4举若干例：
Cn表示长度2n的dyck word的个数。Dyck word是一个有n个X和n个Y组成的字串，且所有的部分字串皆满足X的个数大于等于Y的个数。以下为长度为6的dyck words: XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY将上例的X换成左括号，Y换成右括号，Cn表示所有包含n组括号的合法运算式的个数: ((())) ()(()) ()()() (())() (()())Cn表示有n+1个叶子的二叉树的个数。
Cn表示所有不同构的含n个分枝结点的满二叉树的个数。（一个有根二叉树是满的当且仅当每个结点都有两个子树或没有子树。）证明：
令1表示进栈，0表示出栈，则可转化为求一个2n位、含n个1、n个0的二进制数，满足从左往右扫描到任意一位时，经过的0数不多于1数。显然含n个1、n个0的2n位二进制数共有<math>{2n choose n}</math>个，下面考虑不满足要求的数目。
考虑一个含n个1、n个0的2n位二进制数，扫描到第2m+1位上时有m+1个0和m个1（容易证明一定存在这样的情况），则后面的0-1排列中必有n-m个1和n-m-1个0。将2m+2及其以后的部分0变成1、1变成0，则对应一个n+1个0和n-1个1的二进制数。反之亦然（相似的思路证明两者一一对应）。
从而<math>C_n = {2n choose n} - {2n choose n + 1} = frac{1}{n+1}{2n choose n}</math>。证毕。
Cn表示所有在n × n格点中不越过对角线的单调路径的个数。一个单调路径从格点左下角出发，在格点右上角结束，每一步均为向上或向右。计算这种路径的个数等价于计算Dyck word的个数： X代表“向右”，Y代表“向上”。下图为n = 4的情况：
Cn表示通过连结顶点而将n + 2边的凸多边形分成三角形的方法个数。下图中为n = 4的情况：
Cn表示对{1, ..., n}依序进出栈的置换个数。一个置换w是依序进出栈的当S(w) = (1, ..., n), 其中S(w)递归定义如下：令w = unv，其中n为w的最大元素，u和v为更短的数列；再令S(w) = S(u)S(v)n，其中S为所有含一个元素的数列的单位元。 Cn表示集合{1, ..., n}的不交叉划分的个数. 那么, Cn 永远不大于第n项贝尔数. Cn也表示集合{1, ..., 2n}的不交叉划分的个数，其中每个段落的长度为2。综合这两个结论，可以用数学归纳法证明 that all of the free cumulants of degree more than 2 of the Wigner semicircle law are zero. This law is important in free probability theory and the theory of random matrices. Cn表示用n个长方形填充一个高度为n的阶梯状图形的方法个数。