半序格

由于此格中的运算∩就是集合的交运算，故与（S，∩，·）等价的半序格的部份序就是集合之间包含关系 。

对任意A∈S，B∈S，C∈S，如果A B，

任取u∈A·（C∩B），于是，u = a·d，其中d∈C∩B，a∈A，而A A·C，故

u=a·d∈（A·C）∩B，即

A·（C∩B） （A·C）∩B。

任取u∈（A·C）∩B，于是，u∈B，u∈A·C。令u = a·d（其中a∈A，d∈C），于是，d = a-1·u。因为a-1∈A B，u∈B，故a-1·u∈B，即d∈B。故d∈C∩B。因此，u = a·d∈A·（C∩B），即

（A·C）∩B A·（C∩B），

所以有

A·（C∩B）=（A·C）∩B

由定义知，（S，∩，·）是模格。

定理8.4.3 格（L，≤）是模格的充分必要条件是：对任意a，b，c∈L，如果

a≤b，a×c=b×c，a c=b c

则必有a=b。

证明：必要性。若格（L，≤）是模格，则对任意a，b，c∈L，如果

a≤b，a×c=b×c，a c=b c，

则

a = a （a×c）= a （b×c）

= b×（a c）= b×（b c）= b

充分性。任取a，b，c∈L，且a≤b。

因为（a （b×c）） c = a （（b×c） c）

= a c

又因为a≤b，所以a≤b×（a c），故

a c≤（b×（a c）） c

≤（a c） c = a c

所以，（b×（a c）） c = a c。

因此

（a （b×c）） c =（b×（a c）） c （1）

亦即，在格（L，≤）中，若a≤b，则有（1）式。根据对偶原理2，对任意a，b，c∈L，若a≥b，则有

（a×（b c））×c =（b （a×c）） ×c

因此，当a≤b，即b≥a时，有

（b×（a c））×c =（a （b×c）） ×c （2）

由格的分配不等式知，当a≤b时，有

a （b×c）≤b×（a c） （3）

由（1），（2），（3）式及此定理的条件，得

a （b×c）= b×（a c）

故（L，≤）是模格。