马尔可夫方程
简介不定方程称为马尔可夫方程。
求解方法如下：
先凭观察找出(x1,x2,x3) = (1,1,1)这组解。
方程可视为一个x3为未知数的一元二次方程。根据韦达定理，可知(x1,x2,3x1x2 − x3)（留意）也是一个解。
这个方程有无限个解。
事实上，用这个方法由(1,1,1)开始，可以找出这方程的所有正整数数组解。
在此不定方程的解出现的正整数称为马尔可夫数（Markov number），它们由小到大是：
1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325, ... （OEIS:A002559）
它们组成的解是：
(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (89, 233, 610) ...
马尔可夫数的特性马尔可夫方程的解马尔可夫数可以排成一棵二叉树。
在二叉树上，和1的范围相邻的数（即2, 5, 13, 34, 89, ...），都是相隔的斐波那契数（斐波那契数的定义为F0 = 0,F1 = 1,Fn: = Fn − 1 + Fn − 2，即1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 , 55, 89...）。这是说(1,F2n − 1,F2n + 1)都是此方程的解。
和2的范围邻接的数（即1, 5, 29, 169, ...）也有相似的特质：它们都是相隔的佩尔数（佩尔数的定义为P0 = 0,P1 = 1,Pn: = 2Pn − 1 + Pn − 2，即1, 2, 5, 12, 29, 70, 169... ）。
猜想每个数只在树上出现一次（即没有正整数z使得(a,b,z),(c,d,z)都是方程的解，其中a,b,c,d是两两相异的正整数，且a > b > z,c > d > z）。
赫尔维茨方程马尔可夫-赫尔维茨方程（Markoff-Hurwitz equation），是指形式如的不定方程，其中a,n是正整数。
赫尔维茨证明方程有(0,...,0)之外的解唯若。