联合分布

在概率论中, 对两个随机变量X和Y，其联合分布是同时对于X和Y的概率分布.

离散随机变量的联合分布

对离散随机变量而言，联合分布概率密度函数为Pr(X = x & Y = y)，即

P(X=x and Y=y)=P(Y=y∣X=x)P(X=x)=P(X=x∣Y=y)P(Y=y)

因为是概率分布函数，所以必须有

∑x∑yP(X=x and Y=y)=1

连续随机变量的联合分布

类似地，对连续随机变量而言，联合分布概率密度函数为fX,Y(x, y)，其中fY|X(y|x)和fX|Y(x|y)分别代表X = x时Y的条件分布以及Y = y时X的条件分布；fX(x)和fY(y)分别代表X和Y的边缘分布。

同样地，因为是概率分布函数，所以必须有

∫x∫y X,Y(x,y) dy dx=1

独立变量的联合分布

若对于任意x和y而言，有离散随机变量 ，

P(X=x and Y=y)=P(X=x) •P(Y=y)

或者有连续随机变量 ，

pX,Y(x,y)=pX(x)•pY(y)

则X和Y是独立的.

多元联合分布

2元联合分布可以推广到任意多元的情况X1, ...,Xn

fx1,…..,xn(x1,….,xn)=fxn∣x1,...,xn-1(xn∣x1,...,xn-1)fx1,...,xn-1(x1,...,xn-1)