垂心

垂 心

三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。

锐角三角形垂心在三角形内部。

直角三角形垂心在三角形直角顶点。

钝角三角形垂心在三角形外部。

垂心是高线的交点

垂心是从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线的交点。

三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

三角形上作三高，三高必于垂心交。

高线分割三角形，出现直角三对整，

直角三角有十二，构成六对相似形，

四点共圆图中有，细心分析可找清，

证明如第二张图，虽然“角”的符号成了乱码，但大家应该能看懂。CF为要证的高；两个角（DOC与BAD）相等后利用相似证，此部分从略。直角三角形的情况，直角顶点显然是垂心；钝角——大家没发现三角形OBC垂心就是A吗？

垂心的重心坐标反而比外心简单一点。先计算下列临时变量（与外心一样）：

d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

重心坐标：( c1/c，c2/c，c3/c )。

垂心的向径

设点H为锐角三角形ABC的垂心，向量OH=h，向量OA=a，向量OB=b，向量OC=c，

则h=(tanAa+tanBb+tanCc)/(tanA+tanB+tanC).