保形映射
保形映射（conformal mapping）
解析函数所确定的映射是保形映射。它是复变函数论中最重要的概念之一，与中的概念物理学有联系，而且对物理学中许多领域有重要的应用，例如，应用保形映射成功地解决了流体力学与空气动力学，弹性力学，磁场，电场与热场理论以及其他方面的许多实际问题。不但如此，20世纪中亚音速及超音速飞机的研制促成了从保形映射理论到拟保行映射理论的发展。
又称保形映照。解析函数实现的映射有许多重要性质，如“解析函数将区域映射为区域”，“解析函数在其导数不为零的点的邻域内映射是双方单值的。”但最重要的映射特征是：双方单值的解析映射一定是保形映射。
所谓保形映射是指满足以下两个条件的映射：①过一定点的曲线的正向切线到其象曲线上对应点的正向切线的转角是一个与曲线的选择无关的常数，称其为映射在定点的转动角度。②过一定点的象曲线上一动点到定点的距离与原象曲线上对应点的距离之比，当动点沿曲线趋向定点时的极限为一与曲线的选取无关的常数，称其为映射在定点的伸缩率。上述性质①有一种等价的形式：①′ 过定点的任意两条曲线经映射后其转角的大小及方向均不变，形象地称这一性质为同向保角性 ，①′与②一起表明在一定点附近的一个小三角形，与其象“三角形”（一般是曲边三角形）近似地同向相似，称其为保形映射。
保形映射的基本定理是黎曼映射存在唯一性定理，它断言：若D 是一个边界点集多于一个点的单连通区域，Z0∈D ，则一定存在唯一确定的解析函数w＝f（Z）将D双方单值保形映射为单位圆｜w｜＜1，且使f（Z0）＝0，f ′(Z0)＞0，这一定理在1851年作为 B.黎曼的博士论文题目提出后，100多年来已被许多数学家用多种方法证明，并将其推广到多连通区域的情形，在黎曼映射定理提出之后，C. 卡拉西奥多里证明了边界对应定理，即在黎曼映射定理的条件下 ，若бD＝ L是一条简单闭曲线，则映射函数f （Z） 可以连续开拓到L上且实现L与｜w｜＝1之间的双方单值连续映射。