无穷小量
无穷小量infinitesimal
以数零为极限的变量。确切地说，当自变量x无限接近x0(或x的绝对值无限增大)时，函数值f(x)与零无限接近，即f(x)＝0(或f(x)＝0)，则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量。例如，f(x)＝(x－1)2是当x→1时的无穷小量，f(n)＝是当n→∞时的无穷小量，f(x)＝sinx是当x→0时的无穷小量。特别要指出的是，切不可把很小的数与无穷小量混为一谈。
初学者应当注意的是，无穷小量是函数的极限而不是数量0，是指自变量在一定变动方式下其极限为数量0，称一个函数是无穷小量，一定要说明自变量的变化趋势。例如ｘ＾２－４是ｘ→2时的无穷小量，而不能笼统说ｘ＾２－４是无穷小量。
无穷小量通常用小写希腊字母表示，如α、β、ε等，有时候也用α(x)、ο(x)等，表示无穷小量是x的函数。
无穷小量有下列性质：
1、有限个无穷小量代数和仍是无穷小量。
2、有限个无穷小量之积仍是无穷小量。
3、有界函数与无穷小量之积为无穷小量。
有了无穷小的概念，自然会联想到无穷大的概念，什么是无穷大呢？
无穷大定义：当自变量ｘ趋于ａ时，函数的绝对值无限增大，则称f(x)为当ｘ→ａ时的无穷大。记作lim f(x)＝∽，ｘ→ａ
同样，无穷大不是一个具体的数字，而是一个无限发展的趋势，任何无论多大的常数，都小于+∽。
关于无穷大数与无穷小数的定义【无穷小量的性质】
（1）有限多个无穷小量之和仍是无穷小量；
（2）有限多个无穷小量之积仍是无穷小量；
（3）无穷小量与有界量之积仍是无穷小量。
彭哲也(人在井天)
能不能找到一个绝对值比所有非0的实数的绝对值都小的实数?答案是不能,任何一个数,如果它不是0,就必可以再分,必可以找到绝对值比它的绝对值更小的数.从这个意义上来说,并不存在一个确定的无穷小数.但我们在实际的应用中必须要有一个无穷小数的概念.因此我们可以人为地定义,存在一个数,它的绝对值小于任意给定的非0实数的绝对值.这个数就叫作无穷小数.在现实中并不能找到一个与这个数完全相符合的确定的数,所以无穷小数这个概念其实是无限近似地反映了这一现实.但是我们必须引进这一概念,如果不引进这一概念,很多时候我们将无法表述,我们将无法更接近地反映现实.为了和后面的无穷小数区分开来,我们不妨把这个无穷小数叫作绝对无穷小数.
能不能找到一个数,它的绝对值大于任意给定的实数的绝对值?回答是不能,任何给定的实数,都必可以找到一个比它更大的数.从这个意义上来说,并不存在一个确定的无穷大数.但是在实际的应用中我们必须要引进无穷大数这个概念.因此,我们可以人为地定义,存在一个数,它的绝对值大于任意给定的实数的绝对值.这个数就叫作无穷大数.在现实中并不能找到一个与这个数完全相符合的确定的数,所以无穷大数这个概念其实是无限近似地反映了这一现实.但是我们必须引进这一概念,如果不引进这一概念,很多时候我们将无法表述,我们将无法更接近地反映现实.为了和后面的无穷大数区分开来,我们不妨把这个无穷大数叫作绝对无穷大数.
前面我们定义了绝对无穷大数和绝对无穷小数,为了实践的需要,我们还必须定义相对无穷大数和相对无穷小数.
我们规定绝对值大于任意给定的有限实数的绝对值的实数为无穷大数(相对无穷大数).同样我们规定绝对值小于任意给定的非0的有限实数的绝对值的数为无穷小数(相对无穷小数).
那么什么是有限实数?能不能找到一个绝对值比所有有限实数都大的有限实数?回答是不能.所以所谓的有限实数也只是和无限实数相对而言的,离开了无限实数我们将无法理解有限实数.无限实数与有限实数之间并没有绝对的分割线.如果一个实数,必可以找到一个确定的实数,使之大于这个实数的绝对值.必可以找到另一个确定的实数,使之小于这个实数的绝对值.则这个实数就是有限实数.
相对无穷大数和相对无穷小数满足于实数的一切特性.
绝对无穷大数和绝对无穷小数虽是现实中不存在的数,但经过恰当的解释可以参与实数运算.绝对无穷大数的绝对值加上任何正数还是无穷大数,这是绝对无穷大数的最基本的特点.这一特点规定了绝对无穷大数的一切特点,也由此规定了绝对无穷小数的一切特点.
以上的观点,我主要是从哲学的角度出发而作出来的,算是给数学界朋友们抛砖引玉吧!
关于无穷小的概念，我来补充几句：其实无穷小到底有多大，虽无法数量化，但却是可以形象地表达出来的。无穷小的极限绝对不是0，这是正确的，因为既然叫小，那么这个数一定比0大，否则直接叫0算了，为什么还称作无穷小呢？那么无穷小的极限到底是个什么数呢？具体的数字恐怕神仙也不能说出，但在数学王国里而不是现实世界中，这个无穷小却可以让你亲眼看到它的真实样子，它的样子就是几何学中的点。点是一个绝对奇妙的空间量，它没有大小，无法度量，要多小就有多小，无数个点罗在一起也只是一个点，一小段线段上的点足以同宇宙中所有的点一一对应，把整个世界上所有的点都集中在这条线段上，也不会拥挤，因为它没有大小，我们这个世界是由点构成的，因此点绝对不是0，更不是一无所有，如果没有的话，它无法构成世界。它比0大，比无穷小小，它是无穷小的极限，但它也不是什么有，说它有，它却没有，说它没有，它却有，它就处在似有非有的状态。点构造了数学奇特的美，玄而又玄。数学是世界上最精确的科学，完美而无遗漏。
(Goethian)
无穷小的极限绝对就是0。无穷小只是无限趋于0，本来就比0大，本来就不是0，又怎么会直接叫它0呢？但是它的极限却是0。事实上，以0为极限的函数就是无穷小。显然上一段的说法是不正确的。但用“点”来比喻“无穷小”还是蛮形象的。如果说“点”是理论中的概念，那么无穷小也是。上一段认为点的大小介于0和无穷小之间，也显然是不正确的，正确的说法应为点等价于无穷小。