向量空间
向量空间
（或称线性空间）是现代数学中的一个基本概念。是线性代数研究的基本对象。
向量空间的一个直观模型是向量几何，几何上的向量及相关的运算即向量加法，标量乘法，以及对运算的一些限制如封闭性，结合律，已大致地描述了“向量空间”这个数学概念的直观形象。
在现代数学中，“向量”的概念不仅限于此，符合下列公理的任何数学对象都可被当作向量处理。譬如，实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成向量空间，在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。
公理化定义
给定域 F，一个向量空间是个集合 V 并规定两个运算：
向量加法：V × V → V 记作 v + w, ∃ v, w ∈ V，
标量乘法：F × V → V 记作 a v, ∃a ∈ F 及 v ∈ V。
符合下列公理 (∀ a, b ∈ F 及 u, v, w ∈ V)：
向量加法结合律：u + (v + w) = (u + v) + w.
向量加法交换律: v + w = w + v.
向量加法的单位元: V 里有一个叫做零向量的 0，∀ v ∈ V , v + 0 = v.
向量加法的逆元素: ∀v∈V, ∃w∈V, 导致 v + w = 0.
标量乘法分配于向量加法上: a(v + w) = a v + a w.
标量乘法分配于域加法上: (a + b)v = a v + b v.
标量乘法一致于标量的域乘法: a(b v) = (ab)v。
标量乘法有单位元: 1 v = v, 这里 1 指示域 F 的乘法单位元.
有些教科书还强调以下两个闭包公理：
V 闭合在向量加法下：v + w ∈ V.
V 闭合在标量乘法下: a v ∈ V.
简而言之，向量空间是一个F-模。
V的成员叫作向量而F的成员叫作标量
若F是实数域R，V称为实数向量空间.
若F是复数域C，V称为复数向量空间.
若F是有限域，V称为有限域向量空间
对一般域F，V称为F-向量空间
基础特性
首5个公理是说明向量V在向量加法中是个可换群.余下的5个公理应用于标量乘法.
这些都是一些特性很容易从向量空间公理推展出来的.如下:
零向量 0 ∈ V (公理3) 是唯一的.
a 0 = 0 ∀ a ∈ F.
0 v = 0 ∀ v ∈ V 这里 0 是F的加法单位元.
a v = 0 ，则可以推出要么 a = 0 ，要么 v = 0.
可加的逆元向量 v (公理4) 是唯一的. (写成−v). 这个写法v − w 及 v + (−w) 都是标准的.
(−1)v = −v ∀ v ∈ V.
(−a)v = a(−v) = −(av) ∀ a ∈ F , ∀ v ∈ V.
例子
参见 向量空间例子
子空间及基
一个向量空间 V 的一个非空子集合 W 在加法及标量乘法中表现密闭性，被称为 V 的线性子空间。
给出一个向量集合 B，那么包含它的最小子空间就称为它的扩张，纪作 span(B)。
给出一个向量集合 B，若它的扩张就是向量空间 V， 则称 B 为 V 的生成集。
一个向量空间 V 最大的线性独立子集，称为这个空间的基。若 V=0，唯一的基是空集。对非零向量空间 V，基是 V 最小的生成集。
如果一个向量空间 V 拥有一个元素个数有限的生成集，那么就称 V 是一个有限维空间。向量空间的所有基拥有相同基数，称为该空间的维度。例如,实数向量空间：R0, R1, R2, R3, …, R∞, …中， Rn 的维度就是 n。
空间内的每个向量都有唯一的方法表达成基中元素的线性组合。把基中元素排列，向量便可以座标系统来呈现。
线性映射
给两个向量空间 V 和 W 在同一个F场, 设定由V到W的线性变换或“线性映射” . 这些由V到W的映射都有共同点就是它们保持总和及标量商数.这个集合包含所有由V到W的线性映射,以 L(V, W) 来描述, 也是一个F场里的向量空间. 当 V 及 W 被确定后, 线性映射可以用矩阵来表达.
同构是一对一的一张线性映射.如果在V 和W之间存在同构, 我们称这两个空间为同构;他们根本上是然后相同的。
一个在F场的向量空间加上线性映射就可以构成一个范畴，即阿贝尔范畴。
概念化及额外结构
研究向量空间很自然涉及一些额外结构。额外结构如下：
一个实数或复数向量空间加上长度概念。就是范数称为赋范向量空间。
一个实数或复数向量空间加上长度和角度的概念，称为 内积空间。
一个向量空间加上拓扑学符合运算的（加法及标量乘法是连续映射）称为拓扑向量空间。
一个向量空间加上双线性算子（定义为向量乘法）是个域代数。
向量空间的同构
在域F上的两个向量空间V与V' ，如果存在一个双射φ：V→V'并且φ(aμ+bν)=aφ(μ)+bφ(ν)，a，b∈F，μ，ν∈V．这样V与V' 便是同构。