诺特公式

定义我们这里讨论代数曲面的诺特公式。 它是经典代数几何中最著名的陈类（即陈省身示性类）公式之一。假设c_1(X) , c_2(X) 是曲面X的第一第二陈类， 那么我们有诺特公式：

c_1^2(X)+c_2(X)=12χ(O_X).

这里 χ(O_X) 是关于X的结构层O_X的上同调示性类。

几何解释陈类c_2(X) 在这里可以理解为X的拓扑结构所对应的欧拉示性数。 c_1^2(X) 可以视为典范除子K_X 的自交数。 因此诺特公式反映了同调示性类和拓扑示性类之间的深刻关系。

诺特公式和黎曼洛赫定理以及宫冈-丘不等式的关系密切。 我们可以将此结论推广到高维代数簇情形。

应用设f:X→C是纤维化， 那么诺特公式诱导了相对不变量的类似公式。 如果从曲线模空间的角度看， 这一公式相当于反映了模空间中几种重要除子的关系。结合诺特公式和宫冈-丘不等式， 人们可以得到c_1^2(X)≦9χ(O_X). 由此可以得到一般型极小曲面的典范映射的次数上界估计。