矩阵的秩
矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念。
定义1. 在m´n矩阵A中，任意决定k行和k列 (1£k£min{m,n}) 交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。
例如，在阶梯形矩阵 中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式 就是矩阵A的一个2阶子式。
定义2. A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A
的秩，记作rA，或rankA。
特别规定零矩阵的秩为零。
显然rA≤min(m,n) 易得：
若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。
由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A)¹ 0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。
由行列式的性质1(1.5[4])知，矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的。
例1. 计算下面矩阵的秩，
而Ａ的所有的三阶子式，或有一行为零；或有两行成比例，因而所
有的三阶子式全为零，所以rA＝２。
矩阵的秩
引理 设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。
定理 矩阵的行秩，列秩，秩都相等。
定理 初等变换不改变矩阵的秩。
定理 矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};
矩阵经过运算后秩的变化规律(1)转置后秩不变
(2)r(A)<min(m,n),A是m*n型矩阵
(3)r(kA)=r(A),k不等于0
(4)r(A)=0 -> A=0
(5)r(A+B)<=r(A)+r(B)
(6)r(A*B)<=min(r(A),r(B))
(7)r(A)+r(B)-n<=r(A*B)
特别的：A:m*n,B:n*s,A*B=0 -> r(A)+r(B)<=n
(8)P,Q满秩方阵(秩等于维数)->r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)