离散傅里叶变换
离散傅里叶变换（..，简称..），是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式，将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换（DTFT）频域的采样。在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。即使对有限长的离散信号作DFT，也应当将其看作经过周期延拓成为周期信号再作变换。在实际应用中通常采用快速傅里叶变换以高效计算DFT。
下面给出离散傅里叶变换的变换对：
对于N点序列 {x[n ]} 0 ≤ n < N ，它的离散傅里叶变换（DFT）为
⌃
x
[k ] = N - 1
Σ
n = 0 e - i 2 π
– – – – –
N n k x[n ] k = 0,1, …,N-1.
其中e 是自然对数的底数，i 是虚数单位。通常以符号F表示这一变换，即
⌃
x
= Fx
离散傅里叶变换的逆变换（IDFT）为：
x[n ] = 1
––
N N - 1
Σ
k = 0 e i 2 π
–––––
N nk ⌃
x
[k ] n = 0,1, …,N-1.
可以记为：
x = F -1 ⌃
x
实际上，DFT和IDFT变换式中和式前面乘上的归一化系数并不重要。在上面的定义中，DFT和IDFT前的系数分别为1 和1/N。有时会将这两个系数都改成1/ √
––
N
，这样就有x = FFx，即DFT成为酉变换。
从连续到离散
连续时间信号x(t) 以及它的连续傅里叶变换（CT）⌃
x
( ω)
都是连续的。由于数字系统只能处理有限长的、离散的信号，因此必须将x 和⌃
x
都离散化，并且建立对应于连续傅里叶变换的映射。
数字系统只能处理有限长的信号，为此假设x(t)时限于[0, L]，再通过时域采样将x(t) 离散化，就可以得到有限长的离散信号。设采样周期为T，则时域采样点数N=L/T。
x discrete (t) = x (t) N - 1
Σ
n = 0 δ(t-nT) = N - 1
Σ
n = 0 x (nT) δ(t-nT)
它的傅里叶变换为
⌃
x
discrete ( ω) = N - 1
Σ
n = 0 x (nT)F δ(t-nT) = 1
––
T N - 1
Σ
n = 0 x (nT)e - i 2 π n ω T
这就是x(t)时域采样的连续傅里叶变换，也就是离散时间傅里叶变换，它在频域依然是连续的。
类似的，频域信号也应当在带限、离散化之后才能由数字系统处理。依据采样定理，时域采样若要能完全重建原信号，频域信号⌃
x
( ω)
应当带限于(0,1/T)。由于时域信号时限于[0, L]，由采样定理以及时频对偶的关系，频域的采样间隔应为1/L。故，频域采样点数为
1/T
–––––
1/L = N
即频域采样的点数和时域采样同为N，频域采样点为 { ω k = k/NT} 0 ≤ k < N 在DTFT频域上采样：
⌃
x
[k ] = ⌃
x
discrete ( ω k ) = 1
––
T N - 1
Σ
n = 0 f[n ]e - i 2 π
– – – – –
N n k
令T=1，将其归一化，就得到前面定义的离散傅里叶变换。因此，DFT就是先将信号在时域离散化，求其连续傅里叶变换后，再在频域离散化的结果。
DFT与CT
下面考察离散傅里叶变换与连续傅里叶变换的关系。
Fx ( ω) = ⌃
x
( ω) = 1
––
L ∫ L
0 x (t)e - i ω t dt
其采样为
⌃
x
( ω k ) = 1
––
L ∫ L
0 x (t)e - i ω k t dt
将这个积分以黎曼和的形式近似，有
⌃
x
( ω k ) ≈ 1
––
L N - 1
Σ
n = 0 x[n ] e - i ω k n T T = 1
––
N ⌃
x
[k ]
DFT与DTFT
参见离散时间傅里叶变换
离散时间傅里叶变换（DTFT）是在时域上对连续傅里叶变换的采样。DFT则是在频域上对DTFT的均匀采样。离散信号x[n ]（n=0,...,N-1）的DTFT为：
⌃
x
(e i ω ) = N - 1
Σ
n = 0 x[n ] e - i n ω
对⌃
x
(e i ω )
在离散的频点{ ω k = k 2 π
–––––
N } 0 ≤ k < N
上采样
⌃
x
[k ] = ⌃
x
(e i ω k ) = N - 1
Σ
n = 0 x[n ]e - i 2 π
– – – – –
N k n k = 0, …,N-1
即为x 的DFT。由于DTFT在频域是周期的，所以在DTFT频域上的均匀采样也应是周期的。⌃
x
[k ]
实际上是这个周期序列的主值序列。
栅栏效应
N 点序列的DFT只能在有限的N个频点上观察频谱，这相当于从栅栏的缝隙中观察景色，对于了解信号在整个频域上的特性是不够的。为了观察到其他频率的信息，需要对原信号x[n]做一些处理，以便在不同的频点上采样。
将原来在DTFT频域上的采样点数增加到M 点，这样采样点位置变为{ ω ' k = e i k 2 π
– – – – –
M } 0 ≤ k < M
。则对应的DFT成为
⌃
x
'[k ] = ⌃
x
(e ik ω ' k ) = N - 1
Σ
n = 0 x[n ]e - i 2 π
– – – – –
M k n
若在序列x[n] 之后补上M-N个零，设为x'[n]，则上式变为
⌃
x
'[k ] = M - 1
Σ
n = 0 x '[n ]e - i 2 π
– – – – –
M k n = Fx '
因此将x[n]补零再做DFT就可以得到x[n]的DTFT在其他频率上的值，相当于移动了栅栏，因而能够从其他位置进行观察。
频谱分辨率
N 点DFT的频谱分辨率是2 π/N。一节指出可以通过补零观察到更多的频点，但是这并不意味着补零能够提高真正的频谱分辨率。这是因为x[n] 实际上是x(t) 采样的主值序列，而将x[n]补零得到的x'[n] 周期延拓之后与原来的序列并不相同，也不是x(t) 的采样。因此⌃
x
'
与⌃
x
是不同离散信号的频谱。对于补零至M点的x'的DFT，只能说它的分辨率2 π/M仅具有计算上的意义，⌃
x
'
并不是真正的、物理意义上的频谱。频谱分辨率的提高只能通过提高采样频率实现。
从空间的角度分析
周期为N的离散信号构成一个N 维欧氏空间C N 。在这一空间上两个信号x 和y 的内积定义为
〈 x,y 〉 = N - 1
Σ
n = 0 x[n ]y *[n ]
下面给出C N 上的一组正交基：
{ e k [n ] = e i 2 π
–––––
N kn } 0 ≤ k < N
将信号x 在这组正交基上分解，得
x = N - 1
Σ
k = 0 〈 x,e k 〉
–––––––––––
‖ e k ‖ 2 e k
令
⌃
x
[k ] = 〈 x, e k 〉 = N - 1
Σ
n = 0 x[n ] e - i 2 π
– – – – –
N k n
此即为离散傅里叶变换。又
| e k | 2 = N
则有
x[n ] = 1
––
N N - 1
Σ
k = 0 ⌃
x
[k ]e i 2 π
–––––
N kn
此即为离散傅里叶变换的逆变换。
由此可知，在正交分解的角度上说，离散周期信号x的离散傅里叶变换⌃
x
实质上是x在正交基 {e k } 上的分量。而从线性变换的角度上说， {e k } 是圆周卷积的特征向量，⌃
x
则是对应的特征值。
离散傅里叶变换地基本性质：
1.线性性质
如果X1（n）和X2(N)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2，且Y(N)=AX1(N)+BX2(N)
式中A,B为常数，取N=max【N1,N2]，则Y(N）地N点DFT为
Y(K)=DFT[Y(N)]=AX1(K)+BX2(K), 0≤K≤N-1;
2.循环移位特性
设X(N)为有限长序列，长度为N，则X(N)地循环移位定义为
Y(N)=X((N+M))下标nR（N）
式中表明将X(N）以N为周期进行周期拓延得到新序列X'(N)=X((N))下标n，再将X'(N）左移M位，最后取主值序列得到循环移位序列Y(N)