等腰三角形
英文: isosceles triangle
定义有两边相等的三角形是等腰三角形
性质1.等腰三角形的两个底角相等。 （简写成“等边对等角”）
2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（简写成“三线合一”）
3.等腰三角形的两底角的平分线相等。（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半
6等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)
7等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴
判定在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等边对等角）
在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等角对等边）
特殊的等腰三角形——等边三角形定义
三边都相等的三角形是等边三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形。
（注意：若三角形三边都相等则说这个三角形为等边三角形，而一般不称这个三角形为等腰三角形）
性质
1）等边三角形的内角都相等，且为60度
2）等边三角形底角边上的中线、底角边上高线和所对顶角的角的平分线互相重合（三线合一）
3）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线
判定
（首先考虑判断三角形是等腰三角形）
（1）三边相等的三角形是等边三角形（定义）
（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形
（3）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
（4）等边三角形是锐角三角形
( 5) 有两个角等于60度的等腰三角形是等边三角形
黄金三角形黄金三角形
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名称定义所谓黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值；对应的还有：黄金矩形等。
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黄金三角形的分类黄金三角形分两种：
一种是等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°；这种三角形既美观又标准。这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：(√5-1)/2.
另一种也是等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：(√5-1)/2.
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黄金三角形的特征黄金三角形是一个等腰三角形，它的顶角为36°，每个底角为72°.它的腰与它的底成黄金比．当底角被平分时，角平分线分对边也成黄金比，并形成两个较小的等腰三角形．这两三角形之一相似于原三角形，而另一三角形可用于产生螺旋形曲线．
黄金三角形的一个几何特征是：它是唯一一种能够由5个与其全等的三角形生成其相似三角形的三角形。
把五个黄金三角形称为“小三角形”，拼成的相似黄金三角形称为“大三角形”。则命题可以理解为：五个小三角形能够不重叠又不超出地充满大三角形。要满足这种填充，必要条件之一是大三角形的每条边都可以由若干条小三角形的边相加而成。
根据定义，第一种黄金三角形是腰与底的比值为(√5+1)/2的等腰三角形，顶角为36°，底角为72°。
设小三角形的底为a，则腰为b=(√5+1)a/2，因为大三角形的面积为小三角形的5倍。则大三角形的边长
为小三角形对应边长的√5倍，即大三角形的底为A=√5 a，腰为B=√5 *(√5+1)a/2=(√5+5)a/2。
大三角形的腰B与小三角形边的关系满足：
B=2a+b
而大三角形的底A与小三角形边的关系可列举如下：
2a＜A＜3a
b＜A＜b+a
可见大三角形底边的邻近区域无法由小三角形不重叠又不超地来填充（图1）。故命题错。
另外一种黄金三角形是腰与底的比值为(√5-1)/2的等腰三角形，顶角为108°，底角为36°。
设小三角形的底为a，则腰为b=(√5-1)a/2。
同样可以证明：
A=2b+a
2b＜B＜3b
a＜B＜b+a
可见大三角形腰的邻近区域无法由小三角形不重叠又不超出地填充（图2）。故命题错。
事实上，勾为a，股为b=2a的直角三角形可以满足命题要求。
显然，弦c=√a2+b2 =√5 a
大三角形的对应边：
A=√5 a=c
B=2A=2c
C=√5 *(√5a)=5a=2b+a
满足上述必要条件。是否成立还要验证，结果是对的（图3）。本三角形是否唯一满足命题还不清楚。
顶角36°的黄金三角形按任意一底角的角平分线分成两个小等腰三角形，且其中一个等腰三角形的底角是另一个的2倍。顶角是108°的黄金三角形把顶角一个72°和一个36°的角，这条分线也把黄金三角形分成两个小等腰三角形，且其中一个等腰三角形的底角也是另一个的2倍。