菲涅尔函数

菲涅尔函数(Fresnel function)又称菲涅尔积分(Fresnel integral)。

定义菲涅尔函数图像

菲涅尔函数有两种S(x) C(x)

S(x)=∫‍sin(t^2)dt,(0~x)=∑‍[(-1)^n*x^(4n+3)/((2n+1)!(4n+3))](0~∞‍)

C(x)=∫cos(t^2)dt,(0~x)=∑‍[(-1)^n*x^(4n+1)/((2n)!(4n+1))](0~∞‍)

‍性质S(x),C(x) 分别是在R上的奇函数导数S'(x)=‍sin(t^2)

C'(x)=cos(t^2)渐近线因为S(+∞‍)=C(+∞‍)=√‍(π‍/8)

S(x),C(x)有两条水平渐近线y=±√(π‍/8)用误差函数表示用误差函数表示，必须用到复数

S(x)=√‍(π)/4(√(i)erf(x√(i))+√(-i)erf(x√(-i)))‍

C(x)=√‍(π)/4(√(-i)erf(x√(i))+√(i)erf(x√(-i)))

‍(erf(x)是误差函数，i是虚数单位)

所以，可以得到

C(z)+iS(z)=√(π/8)*(1+i)erf[(1-i)z/2] (z为复数)