奥高公式
一、基本概念
1、第一型曲面积分的定义
设是空间中可求面积的曲面，为定义在上的函数。把分割为n个小曲面i（S),,(zyxfSSSni,,1L=）
，以记小块曲面的面积，分割T的细度iSΔ{}的直径iniST≤≤=1max，在上任取一点)iS,,iiiςηξ（（ni,,1L=），若极限 iniiiiTSfΔ∑=→10),,(limςηξ
存在，且与分割T与),,iiiςηξ（（）的取法无关，则称此极限为在上的第一型曲面积分，记作。 ni,,1L=),,(zyxfS∫∫SdSzyx,( f , )
2、第一型曲面积分的计算
定理1 设有光滑曲面：，S),(yxzz=Dyx∈),(，为上的连续函数，则 ),,(zyxfSdxdyzzyxzyxfdszyxfDyxS∫∫∫∫++=221)),(,,(),,(
3、第二类曲面积分的计算
定理2 设R是定义在光滑曲面：，上的连续函数，以的上侧为正侧（这时的法线方向与轴正向成锐角），则有 S),(yxzz=xyDyx∈),(SSz
dxdyyxzyxfdszyxfxyDS∫∫∫∫=)),(,,(),,(
4、Gauss公式
定理3 设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面围成。若函数SP，Q，R在V上连续，且有一阶连续偏导数，则： ∫∫∫∫∫++=∂∂+∂∂+∂∂SVRdxdyQdzdxPdydzdxdydzzRyQxp)(
其中取外侧。 S
5、Stokes公式
定理4 设是 R3中的光滑曲面，的边界SSL是了按段光滑的连续曲线。若函数P，Q，R在V上连续，且有一阶连续偏导数，则： ∫∫∂∂∂∂∂∂SRQPzyxdxdydzdxdydz = 。 ∫∂++DRdzQdyPdx
二、基本方法
1、利用dxdyzzyxzyxfdszyxfDyxS∫∫∫∫++=221)),(,,(),,(和两个公式计算第一型和第二型曲面积分； dxdyyxzyxfdszyxfxyDS∫∫∫∫=)),(,,(),,(
2、利用Gauss公式计算三维积分；
3、利用Stokes公式计算曲面积分。
三、基本要求
1、掌握求第一型和第二型曲面积分的方法；
2、会用Gauss公式和Stokes公式计算曲面积分。
四、典型例题
例1 求，其中是上半球面，。 ∫∫++SdSzyx)(S2222azyx=++0≥z
解 根据对称性，＝＝0，只要计算即可。由∫∫SxdS∫∫SydS∫∫SzdS222yxaz−−=，222yxaxzx−−−=，222yxayzy−−−=，所以。 3222)(adxdyadSzyxayxSπ==++∫∫∫∫≤+
例2 计算，其中是以原点为中心，边长为2的立方体表面并取外侧为正向。 ∫∫+++++Sdxdyxzdzdxzydydzyx)()()(S
解 分析：观察积分结构及曲面的图形知，Szyx、、两两对称，由对称性知，只需计算其中之一即可。
由 ∫∫∫∫∫∫−−−−+−−+=+11111111)1()1()(dzydydxydydydzyxS
8)1(2)1(21111=−−+=∫∫−−dyydyy
故＝∫∫+++++Sdxdyxzdzdxzydydzyx)()()(83×＝。 24
例3 证明：若为封闭曲面，为任何固定方向，则Sl0),cos(=∫∫SdSln，其中为曲面外法线方向。 nS
证 设n和l的方向余弦为αcos，βcos，γcos和，，，则＋＋，所以'cosα'cosβ'cosγ'coscos),cos(αα=ln'coscosββ'coscosγγ∫∫∫∫=SSdSln(),cos('coscosαα＋＋） 'coscosββ'coscosγγdSdxdydzdxdydzS'''coscoscosγβα++=∫∫外
又因l的方向固定，，，都是常数，故'cosα=P'cosβ=Q'cosγ=R0=∂∂+∂∂+∂∂zRyQxP，由奥高公式，
原式∫∫∫∫∫=++=VSRdxdyQdzdxPdydz(zRyQxP∂∂+∂∂+∂∂）dxdydz0=。
五、自测题
1．利用高斯公式求下列积分：
1) 222Sxdydzydzdxzdxdy++∫∫，其中
(a) 为立方体0,S,xyza≤≤的边界曲面外侧；
(b) 为锥面S222(0)xyzzh+=≤≤，下侧．
2) 333Sxdydzydzdxzdxdy++∫∫，其中是单位球面的外侧； S
3）设是上半球面S22zaxy=−− 2的上侧，求
(a) Sxdydzydzdxzdxdy++∫∫，
(b) ()()22222Sxzdydzxyzdzdxxyyzdxdy+−++∫∫；
4) ()()()222222Sxyzdydzyzxdzdxzxydxdy−++−++−+∫∫，是 S
()()()2222xaybzc−+−+−=R的外侧．
2． 用斯托克斯公式计算下列积分：
1) ∫++L32zdzdydxyx，其中
(a) L为圆周，方向是逆时针， 222,xyaz+==0
(b) L为所交的椭圆，从轴正向看去，按逆时针方向； 221,yzx+==y x
2) ∫−+−+−L)()()(dzyxdyxzdxzy，其中L是从(),0,0a经()0,,0a至()0,0,a回到(),0,0a
三角形；
3) ∫+++++L222222)()()(dzyxdyxzdxzy，其中
(a) L为1xyz++=与三坐标轴的交线，其方向与所围平面区域上侧构成右手法则，
(b) L是曲线，它的方向与所围曲面的上侧构成右手法则； 222222,2(0,0)xyzRxxyrxrRz++=+=<<>
4) ∫++Lxdzzdyydx，L是，从轴正向看去圆周是逆时针方向． 2222,0 x +y +z =a x+y+z= x
3．计算高斯积分
()2cos,SdSrrn∫∫
其中为简单封闭光滑曲面，为曲面上在点SnS(),,ξηζ处的外法向，()()(),xyzrrijkrξηζ=−+−+−=．试对下列两种情形进行讨论：
1） 曲面包围的区域不含S(),,xyz点；
2） 曲面包围的区域含(S),,xyz点．
4．求证：()dSNRrdxdydzSV∫∫∫∫∫=,cos21，其中是包围V的分片光滑封闭曲面，为的外法线方向．SNSR=(),,xyz,Rr=．分下列两种情形讨论：(1) 中不含原点（0，0，0）；(2) 中含原点（0，0，0）时，令VVlim0VVVdxdydzdxdydzrrεε−=+→∫∫∫∫∫∫，其中Vε是以原点为心，以ε为半径的球．
5．利用高斯公式变换以下积分：
(1) Sxydxdyxzdzdxyzdydz++∫∫；(2) coscoscosSuuudSxyzαβγ⎛⎞∂∂∂++⎜⎟∂∂∂⎝⎠∫∫，
其中cosα，cosβ，cosγ是曲面的外法线方向余弦．
6．设是具有二阶连续偏导数的函数，并设()(,,,uxyvxy)
2222uuuxy∂∂Δ=+∂∂．
证明 luudxdydsnσ∂Δ=∂∫∫∫。其中σ为闭曲线所围的平面区域，l,uvnn∂∂∂∂为沿l外法线的方向导数．
7．设222222,uuuuxyz∂∂∂Δ=++∂∂∂
S 是V的边界曲面，证明：
(1) VSuudxdydzdSn∂Δ=∂∫∫∫∫∫；
(2) 222SVVuuuuudSdxdydzuudxdydznxyz⎡⎤⎛⎞∂∂∂∂⎛⎞⎛⎞=+++Δ⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠⎢⎥⎝⎠⎣⎦∫∫∫∫∫∫∫∫．
式中u在V及其边界曲面上有连续的二阶偏导数，Sun∂∂为沿曲面的外法线的方向导数． S
8．计算下列曲面积分：
(1) ()()()22222Sxydydzyzdzdxzyxdxdy−+−+−∫∫，其中是S2222221xyzabc++= 下侧； (0z≥ )
(2) ()()()coscoscos,SxydydzyzdzdxzxdxdyS+++++∫∫是立体Ω的边界面，而立体Ω由1xyz++=和三坐标面围成；
(3) SdSFn⋅∫∫，其中333,xyzFijk=++ n是的外法向，S为S2222 x +y＋z =a (z ≥0) 上侧；
(4) 3333233222,SxyzyzdydzzxdzdxxydxdySabc⎛⎞⎛⎞⎛⎞+++++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠∫∫是2222221xyzabc++= 后侧． (0x≥ )
9．证明由曲面所包围的体积等于 S()1coscoscos3SVxyzαβγ=++∫∫ dS
式中cosα，cosβ，cosγ为曲面的外法线的方向余弦． S
10．设有连续偏导数，且对任意光滑闭曲面，有 ,,PQRS
0SPdydzQdzdxRdxdy++=∫∫
证明0PQRxyz∂∂∂++=∂∂∂．
11．设在全平面上有连续偏导数，而且以任意点()(,,,PxyQxy) ()00,xy为中心，以任意正数为半径的上半圆l：r00cos,sinxxryyrθθ=+=+ (0)θπ≤≤，恒有
()(),,lPxydxQxydy 0 +=∫
求证：(),0,QPxy 0
x∂≡≡∂．