单调函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I：
如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1<x2时都有f(x1)< f(x2).那么就说f(x)在这个区间上是增函数。
如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时都有f(x1)>f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数。
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数。那么就说函说y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y= f(x)的单调区间，在单调区间上增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的。
注意：（1）函数的单调性也叫函数的增减性；
（2）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念；
（3）判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤有两种主要方法：
1）定义法
a.设x1、x2∈给定区间，且x1<x2.
b.计算f(x1)- f(x2)至最简。
c.判断上述差的符号。
2）求导法
利用导数公式进行求导，然后判断导函数和0的大小关系，从而判断增减性，导函数值大于0，说明是增函数，导函数值小于0，说明是减函数，前提是原函数必须是连续的。
补充新叙内容
在数学中在有序集合之间的函数是单调(monotone)的，如果它们保持给定的次序。这些函数最先出现在微积分中后来推广到序理论中更加抽象结构中。尽管概念一般是一致的，两个学科已经发展出稍微不同的术语。在微积分中，我们经常说函数是单调递增和单调递减的，在序理论中偏好术语单调和反单调或序保持和序反转。
一般定义
设
f: P → Q
是在两个带有偏序 ≤ 的集合 P 和 Q 之间的函数。在微积分中，它们是带有平常次序的实数集的子集之间的函数，但是定义仍保持同更一般的序理论定义一样。
函数 f 是单调的，如果只要 x ≤ y，则 f(x) ≤ f(y)。因此单调函数保持次序关系。
[编辑]微积分和实分析中的单调性
在微积分中，经常不需要诉诸序理论的抽象方法。如上所述，函数通常是按自然次序排序的实数集的子集之间的映射。
受在实数上的单调函数的图的形状的启发，这种函数也叫做单调递增的(或"非递减"的)。类似的，函数叫做单调递减的(或"非递增"的)，如果只要 x < y，则 f(x) ≥ f(y)，就说它反转了次序。
如果把定义中的次序 ≥ 替换为严格次序 >，则得到了更严格的要求。有这样性质的函数叫做严格递增的。还有通过反转序符号，可以得到对应的严格递减。严格递增或递减的函数是一一映射 (因为 <math>a < b</math> 蕴涵 <math>a
eq b</math>)。
要避免把术语非递减和非递增混淆于严格递增和严格递减。
[编辑]序理论中的单调性
在序理论中，不限制于实数集合，可以考虑任意偏序集合甚至是预序集合。在这些情况下上述定义同样适用。但是要避免术语"递增"和"递减"，因为一旦处理的不是全序的次序就没有了吸引人的图像动机。进一步的，严格关系 < 和 > 在多数非全序的次序中很少使用，因此不介入它们的额外术语。
单调(monotone)函数也叫做 isotone 或序保持函数。对偶概念经常叫做反单调、antitone 或序反转。因此，反单调函数 f 满足性质
x ≤ y 蕴涵 f(x) ≥ f(y)，
对于它的定义域中的所有 x 和 y。容易看出两个单调函数的复合也是单调的。
常数函数是单调的也是反单调的；反过来，如果 f 是单调的也是反单调的，并且如果 f 的定义域是格，则 f 必定是常量函数。
单调函数是序理论的中心。它们大量出现于这个主题的文章和在这些地方的找到的应用中。著名的特殊单调函数是序嵌入(x ≤ y 当且仅当 f(x) ≤ f(y) 的函数)和序同构(双射序嵌入)。 (杜非）