中值定理
中值定理是微积分学中的基本定理，由四部分组成。
拉格朗日微分中值定理内容是说一段连续光滑曲线中必然有一点，它的斜率与整段曲线平均斜率相同（严格的数学表达参见下文）。中值定理又称为微分学基本定理，拉格朗日定理，拉格朗日中值定理，以及有限改变量定理[1]等。
内容
如果函数f(x)满足
在闭区间[a,b]上连续；
在开区间(a,b)内可导，
那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使等式
f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)
成立。
罗尔定理内容
如果函数f(x)满足
在闭区间[a,b]上连续；
在开区间(a,b)内可导；
在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，
那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得<math>f^prime(xi)=0</math>。
补充
如果函数f(x)满足：
在闭区间[a,b]上连续；
在开区间(a,b)内可导；
在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，
那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得 f'(ξ)=0.
几何上，罗尔定理的条件表示，曲线弧 （方程为 ）是一条连续的曲线弧
，除端点外处处有不垂直于 轴的切线，且两端点的纵坐标相等。而定理结论表明，
弧上至少有一点 ，曲线在该点切线是水平的.：
柯西中值定理如果函数f(x)及F(x)满足
(1)在闭区间[a,b]上连续；
(2)在开区间(a,b)内可导；
(3)对任一x(a,b)，F'(x)!=0
那么在(a,b) 内至少有一点ξ，使等式
[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)
成立
积分中值定理f(x)在a到b上的积分等于(a-b)*f'(c),其中c满足a<c<b.
积分中值定理: 若f(x) 在[a, b]上连续, 则在（a, b）上至少存在一个点ε, 满足
b
∫f(x)dx=f(ε)(b-a)
a
例1 证明
证明:
评注: 按原来的中值定理, 只能得到“³ 0”; 按改进后的中值定理, 因为 , 所以得到“> 0”.
例2 假设 上连续且严格单减, 试证对任何 有
证明:
=
因为 , 所以才得到“> 0”的不等式.
例3 假设 为[0, 1]上的连续、非负、严格单减函数, 且 , 证明
证明:
(由于使用改进后的中值定理, 所以才得到上面严格不等号的不等式)
由以上二个不等式, 可以得到
二边乘以 , 得
因为 , 由于 为[0, 1]上的连续、非负,
所以
.
顺便指出, 陈文灯先生的“数学复习指南”中, 关于单调性的定理也需要改进.
原书中的关于单调性的定理:
定理 假设[a, b]区间内可导, 如果f'(x)>0（f'(x)<0） , 则函数f(x)在[a, b] 区间内单调增加(或单调减少).
应改成:
定理 假设在[a, b]上的连续函数在[a, b]区间内可导, 如果f'(x)>=0（f'(x)<=0）, 则函数f(x)在[a, b] 区间内单调增加(或单调减少).(同济版“高等数学”第五版上册p144)