Topology

Topology (拓扑学)

一：

拓扑学的英文名是Topology，直译是地志学，也就是和研究地形、地貌相类似的有关学科。我国早期曾经翻译成“形势几何学”、“连续几何学”、“一对一的连续变换群下的几何学”，但是，这几种译名都不大好理解，1956年统一的《数学名词》把它确定为拓扑学，这是按音译过来的。

拓扑学是几何学的一个分支，但是这种几何学又和通常的平面几何、立体几何不同。通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质。拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。

举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。例如，前面讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数。这些就是拓扑学思考问题的出发点。

拓扑性质有那些呢？首先我们介绍拓扑等价，这是比较容易理解的一个拓扑性质。

在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是讨论拓扑等价的概念。比如，尽管圆和方形、三角形的形状、大小不同，在拓扑变换下，它们都是等价图形。左图的三样东西就是拓扑等价的，换句话讲，就是从拓扑学的角度看，它们是完全一样的。

在一个球面上任选一些点用不相交的线把它们连接起来，这样球面就被这些线分成许多块。在拓扑变换下，点、线、块的数目仍和原来的数目一样，这就是拓扑等价。一般地说，对于任意形状的闭曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的变换就是拓扑变幻，就存在拓扑等价。

应该指出，环面不具有这个性质。比如像左图那样，把环面切开，它不至于分成许多块，只是变成一个弯曲的圆桶形，对于这种情况，我们就说球面不能拓扑的变成环面。所以球面和环面在拓扑学中是不同的曲面。

直线上的点和线的结合关系、顺序关系，在拓扑变换下不变，这是拓扑性质。在拓扑学中曲线和曲面的闭合性质也是拓扑性质。

我们通常讲的平面、曲面通常有两个面，就像一张纸有两个面一样。但德国数学家莫比乌斯(1790～1868)在1858年发现了莫比乌斯曲面。这种曲面就不能用不同的颜色来涂满两个侧面。

拓扑变换的不变性、不变量还有很多，这里不在介绍。

拓扑学建立后，由于其它数学学科的发展需要，它也得到了迅速的发展。特别是黎曼创立黎曼几何以后，他把拓扑学概念作为分析函数论的基础，更加促进了拓扑学的进展。

二十世纪以来，集合论被引进了拓扑学，为拓扑学开拓了新的面貌。拓扑学的研究就变成了关于任意点集的对应的概念。拓扑学中一些需要精确化描述的问题都可以应用集合来论述。

因为大量自然现象具有连续性，所以拓扑学具有广泛联系各种实际事物的可能性。通过拓扑学的研究，可以阐明空间的集合结构，从而掌握空间之间的函数关系。本世纪三十年代以后，数学家对拓扑学的研究更加深入，提出了许多全新的概念。比如，一致性结构概念、抽象距概念和近似空间概念等等。有一门数学分支叫做微分几何，是用微分工具来研究取线、曲面等在一点附近的弯曲情况，而拓扑学是研究曲面的全局联系的情况，因此，这两门学科应该存在某种本质的联系。1945年，美籍中国数学家陈省身建立了代数拓扑和微分几何的联系，并推进了整体几何学的发展。

拓扑学发展到今天，在理论上已经十分明显分成了两个分支。一个分支是偏重于用分析的方法来研究的，叫做点集拓扑学，或者叫做分析拓扑学。另一个分支是偏重于用代数方法来研究的，叫做代数拓扑。现在，这两个分支又有统一的趋势。

拓扑学在泛函分析、李群论、微分几何、微分方程额其他许多数学分支中都有广泛的应用。

二：

网络的拓扑结构

网络的拓扑结构描述网络的物理布局。根据网络是一个局域网(LAN)，或是用路由器连接的互联网络以及广域网(WAN)连接，可以将拓扑结构设计分为两类。下面将分别讨论这两种分类情况。

Local Area Network Topologies局域网拓扑结构

局域网拓扑基本上是互联网络的分支子网络。它们包括下面的设计，如图T-11所示。

总线 一条单一干线电缆，以菊花链拓扑连接每个工作站。信号被广播到所有站点，但是分组只被编址指定的站点接收。IEEE 802．3以太网是基本的总线标准。

星形 工作站连接到集线器，并且信号被广播到所有站点，或一个接一个地传递。

星形配置环 是一个环形网络，其中信号按照一个圆圈从一个站点传递到另一个站点。它的物理拓扑是星形的，其中，工作站从集线器分支出来。IEEE802．5令牌环是它的基本标准。

星形/总线配置 用长线总线干线连接起来的星形配置的工作站组的网络。

如果所有的工作站排成行，就象从教室或办公大楼走下大厅的楼梯，一个总线拓扑结构是比较容易安装和管理的。如果这条电缆出现了断路，那么这个网络就会崩溃。以太网10BASE-T是一种星形/总线拓扑结构，它将工作站连接到中央集线器盒。一条电缆的断路仅仅影响连接到这条电缆段的那些工作站。使用广播方式来将信号传输给所有的工作站，但是站点仅仅接收送给它们的广播。一个新的需求优先级访问方式加到了这个集线器，用于控制和管理电缆的访问和降低冲突问题。

星形拓扑提供了对电缆断开的保护。如果一条到工作站的电缆断开了，整个LAN段并不会崩溃。而且还很容易诊断连接问题，这是由于每个工作站都是单独连接到这个集线器的。大多数星形配置的网络使用廉价的双绞线电缆，并且为了诊断和测试，所有的线头都放置在一个位置。

Internetw0rk Topologies 互联网络拓扑结构

互联网络是用网桥和路由器互联的部门或工作站的局域网。在局部环境，例如一座建筑物中，通常使用一个主干电缆，但是建造城市或广域网就需要使用象电信局提供的公共服务。下面将讨论三种主要的拓扑结构，如图T-12所示。

主干网络 在办公室或校园环境中，通常可以发现多个部门或建筑物在主干电缆上进行互联。网桥或路由器管理子网络和主干电缆间的通信流。

散列网络 路由器与其它路由器进行互联。这种拓扑结构可能在本地配置，但是通常用在城市或广域网，通过远程通信链路将远程的办公室连接起来。路由器用于选择从起始地到目的地穿越散列(网目)的最佳或最有效的路径。通过选择散列中的其它路径来旁路失效的链路。

链路间星形(interlinked star)结构 这是一种为在建筑物或校园环境构造布线系统的新型拓扑类型。部门的星形配置的集线器，连接到处理集线器间通信量的中央集线器。