阿基里斯追龟

这是哲学家芝诺的著名的逻辑命题。阿基里斯是古希腊的长跑健将，但是芝诺说他永远也追不上一只乌龟。

如果让乌龟先行一段路程，那么阿基里斯将永远追不上乌龟。

乌龟先行了一段距离，阿基里斯为了赶上乌龟，必须要到达乌龟的出发点A。但当阿基里斯到达A点时，乌龟已经向前进到了B点。而当阿基里斯到达B点时，乌龟又已经到了B前面的C点...........依此类推，两者虽越来越接近，但阿基里斯永远落在乌龟的后面而追不上乌龟。

这个悖论与另一个两分法悖论是同一个悖论的两种表述形式.我们设乌龟的速度相对于人的速度为0,人的速度相对于乌龟的速度为v,这样这个悖论与两分法悖论就完全一样了.

一般认为,这两个悖论已经为现代的极限理论所破解,但真是这样吗?

这几个悖论有这样的一个特点.在漫漫两千多年的历史中,人们多次以为这几个悖论已经破解,但过后却发现根本就不是那么回事,所谓的破解反而成了这几个悖论成立的最有力的证据.

运用无穷级数求和能破解芝诺悖论吗?

彭哲也(人在井天)

有一种思想认为可以通过无穷级数求和的办法解决这个问题(两分法和阿基里斯追龟).

我们设物最后到达终点后所走过的空间距离为1,所走过的时间距离为1.首先我们假设物没有最后一个中点要走,则物走过无穷个中点之后物在空间上所走过的距离s是:

S=1/2+1/2^2+......1/2^n=(2^n-1)/2^n=1-1/2^n(n为无穷大)

我们可以看出,这里面的s是无限接近物实际到达的空间距离1.但无限接近并不是等于,也就是说,物并没有最终到达.

现在我们假设物有最后一个中点要走.

则有

S=1/2+1/2^2+1/2^2

S=1/2+1/2^2+1/2^3+1/2^3

.............

S=1/2+1/2^2+1/2^3+.........1/2^n+1/2^n

=(2^n-1)/2^n+1/2^n=1

也就是说,物走过最后一个中点与终点之间的距离之后所走过的距离与物实际到达所走过的距离是一致的.

从上面的计算我们可以很简单地看出,物如果到达了终点,它走过了最后一个中点.如果物没有走过最后一个中点,物就不能到达终点.

同理,我们可以算物走过无穷个中点所用的时间.设实际到达的时间为1.如果物没有最后一个中点要走.物走过无穷个中点所用的时间t是:

t=1/2+1/2^2+......1/2^n=(2^n-1)/2^n=1-1/2^n

可以看得出,这里的t是无限接近物实际到达终点所用的时间,但无限接近并不是等于.

如果物有最后一个中点要走,则有

t=1/2+1/2^2+1/2^3+.........1/2^n+1/2^n

=(2^n-1)/2^n+1/2^n=1

也就是说,物走过最后一个中点与终点之间的距离之后所用的时间与物实际到达的时间是一致的.

从上面的计算可以很清楚地看得出来,物如果有最后一个中点要走,物所用的时间与实际到达的时间相同.物如果没有最后一个中点要走,物所用的时间只能是无限接近物实际到达终点所用的时间,而不能等于.

所以无穷级数求和的结果是,如果物能到达终点,物必须走过最后一个中点.但是物是如何走过最后一个中点的呢?这里没有半点依据.也就是说,两分法的悖论依旧.或者说,这种无穷级数求和的办法反而更加加深了这个悖论的逻辑性.两分法悖论与阿基里斯追龟悖论其实是同一个悖论的两种表述.两分法不能解决,阿基里斯追龟当然依旧.