欧几里得几何学
欧几里得几何学
Euclidean geometry
几何学分支之一。约公元前 300年，古希腊数学家欧几里得集前人之大成，总结了人们在生产、生活实践中获得的大量的几何知识，规定了少数几个原始假定为公理、公设，并定义了一些名词概念，通过逻辑推理，得到一系列的几何命题，形成了欧几里得几何学，简称欧氏几何。欧几里得著有《几何原本》（以下简称《原本》）一书，该书共13卷，除第5、7、8、9、10卷是用几何方法讲述比例和算术理论以外，其他各卷都是论述几何问题的。这部书成为传播几何知识的教科书达2000年之久，现代初等几何学（即平面几何和立体几何）的内容基本全包括在此书内。中国最早的译本是明代万历年间（1607）由大学士徐光启与意大利天主教传教士利玛窦合译的《几何原本》前6卷。《原本》之所以具有价值，不仅因为欧几里得非常详尽地搜集了当时所知道的一切几何资料，而更重要的是把那些分散的知识用逻辑推理的方法编排成一个有系统的演绎的几何学体系。他是历史上第一个创造了一个比较完整的数学理论的人。
欧几里得的《几何原本》共有23个定义，5条公设，5条公理，他力图把几何学建立在这些原始的定义、公理和公设的基础上，然后以这些显然的假设为依据推证出体系里的一切定理。由于欧几里得所处的时代是人类文明的初期，受时代的局限，《原本》的逻辑系统不可能完美无缺，在许多地方出现了漏洞。例如：常常使用未经定义过的概念来解释一个新的概念；用了既不是公理，又不是公设，也没有证明过的结论作为论证命题的依据；等等。正因为如此，在《原本》问世后2000年中，一方面《原本》作为用逻辑来叙述科学的典范，对数学其他分支甚至整个科学发展起着深远的影响；另一方面，对于《原本》在逻辑上的欠缺进行修改、补充和研究工作从未停止过，对于《原本》中的定义、公理、公设的研究成了历代数学家的重要课题。尤其对于《原本》中的第五公设，许多数学家对它产生了怀疑，最终导致非欧几何的创建（见非欧几里得几何学）。
19世纪末，德国数学家D.希尔伯特第一次给出了完备的欧几里得几何公理系统。