柯西中值定理

Cauchy中值定理

设函数f(x),g(x)满足是在[a,b]连续，（a、b）可导，g(x)≠0(x∈(a,b))

则至少存在一点,ξ∈(a,b),使f'(ξ)/g'(ξ)=[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)]

几何意义:

若令u=f(x),v=g(x)，这个形式可理解为参数方程，而[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)]则是连接参数曲线的端点斜率，f'(ξ)/g'(ξ)表示曲线上某点处的切线斜率，在定理的条件下，可理解如下：用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦，这一点Lagrange也具有，但是Cauchy中值定理除了适用y=f(x)表示的曲线，还适用于参数方程表示的曲线。

柯西中值定理的证明过程：

证明：令F(x)=f(x)-[f(a)-f(b)]g(x)/[g(a)-g(b)]

∵F(a)=F(b)=[f(a)g(b)-f(b)g(a)]/[g(b)-g(a)]

由罗尔定理知：存在ξ∈(a,b),使得F'(ξ)=0.

又知F'(x)=f'(x)-[f(a)-f(b)]g'(x)/[g(a)-g(b)]

故f'(ξ)-[f(a)-f(b)]g'(ξ)/[g(a)-g(b)]=0

即f'(ξ)/g'(ξ)=[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)]

得证。