广义函数

guangyi hanshu

广义函数

generalized function,distribution

古典函数概念的推广。关于广义函数的研究构成了泛函分析中有着广泛应用的一个重要分支。历史上第一个广义函数是由物理学家 P.A.M. 狄□克引进的，他因为陈述量子力学中某些量的关系时需要引入了“函数”□(□)：当 □≠0时,□(□)=0，但□。按20世纪前所形成的数学概念是无法理解这样奇怪的函数的。然而物理学上一切点量，如点质量、点电荷、偶极子、瞬时打击力、瞬时源等物理量用它来描述不仅方便、物理含义清楚,而且当它被当作普通函数参加运算,如对它进行微分和傅里叶变换，将它参与微分方程求解等所得到的数学结论和物理结论是吻合的。这就迫使人们要为这类怪函数确立严格的数学基础。最初理解的方式之一是把这种怪函数设想成直线上某种分布所相应的“密度”函数。所以广义函数又称为分布，广义函数论又叫做分布理论。用分布的观念为这些怪函数建立基础虽然很直观，但对于复杂情况就又显得繁琐而不很明确。后来随着泛函分析的发展，L.施瓦尔茨(1945)用泛函分析观点为广义函数建立了一整套严格的理论,接着И.□.盖尔范德对广义函数论又作了重要发展。从此，广义函数被广泛地应用于数学、物理、力学以及分析数学的其他各个分支，例如微分方程、随机过程、流形理论等等，它还被应用到群的表示理论，特别是它有力地促进了偏微分方程近30年来的发展。

在广义函数理论的形成过程中有重要影响的有：J.（-S.）阿达马 (1932)在研究波动方程基本解时使用了发散积分的有限部分。С.Л.索伯列夫(1936)在研究双曲型方程的柯西问题时用分部积分引入了广义导数和微分方程广义解的概念,并把函数δ及其导数δ□等视为某个函数空间上的线性泛函；他对广义函数论的建立迈出了决定性的一步。S.博赫纳(1932)和T.卡莱曼(1944)讨论了幂增长函数的傅里叶变换，提出了连续函数的形式导数概念。

当然为那些怪函数建立严格数学基础的方法并不是惟一的，例如波兰学者J.米库辛斯基就曾用较初等的方法建立它们的基础。也有把广义函数看作解析函数的边界值，并由此发展出超函数理论。换句话说，广义函数的定义并不完全统一，而是具有一定程度的灵活性，可以根据问题的需要适当地定出相应的广义函数类。

基本函数空间和广义函数空间泛函分析观念下的广义函数理论的核心是把广义函数看成某个函数空间上的连续线性泛函，即先选取某些性质很好的函数组成的线性空间，再在其中给出适当的收敛概念，这样的函数空间就称为基本函数空间，又称为测试函数空间，而其中每个函数称为基本函数或测试函数。相应于基个基本空间上的连续线性泛函就称为该基本空间上的广义函数。广义函数全体就称为相应于基本空间的广义函数空间。常用的基本空间有□空间和□空间。