康托展开

康托展开的公式

把一个整数X展开成如下形式：

X=a[n]*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[2]*1!+a[1]*0!

其中，a为整数，并且0<=a[i]<i(1<=i<=n)

康托展开的应用实例

{1,2,3,4,...,n}表示1,2,3,...,n的排列如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个。123 132 213 231 312 321 。

代表的数字 1 2 3 4 5 6 也就是把10进制数与一个排列对应起来。

他们间的对应关系可由康托展开来找到。

如我想知道321是{1,2,3}中第几个大的数可以这样考虑 ：

第一位是3，当第一位的数小于3时，那排列数小于321 如 123、 213 ，小于3的数有1、2 。所以有2*2!个。再看小于第二位2的：小于2的数只有一个就是1 ，所以有1*1!=1 所以小于321的{1,2,3}排列数有2*2!+1*1!=5个。所以321是第6个大的数。 2*2!+1*1!是康托展开。

再举个例子：1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数：第一位是1小于1的数没有，是0个 0*3! 第二位是3小于3的数有1和2，但1已经在第一位了，所以只有一个数2 1*2! 。第三位是2小于2的数是1，但1在第一位，所以有0个数 0*1! ，所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个，1324是第三个大数。

康托展开的代码实现

后文的PASCAL程序经检验可以正确工作，并指示出了一个简洁的计算方法，和前文的运算思路略有不同，不需要检验某数码是否使用过，只需检查第(n+1-i)位之后比第(n+1-i)位小的位的数量，将这个数量作为公式中的a[i]。(1<=i<=n)

并附此算法C++版本。

康托展开的代码（C++语言）：

unsigned long cantor(unsigned long S)

{

long x=0,i,p,k,j;

bool hash[8]={false};

for (i=8;i>=2;i--)

{

k=S>> 3*(i-1);

S-=k<<3*(i-1);

hash[k]=true;

p=k;

for (j=0;j<=k-1;j++)

if (hash[j])

p--;

x+=fac[i-1]*p;

}

return x;

}

康托展开的代码（Pascal语言）：

s为数组，用来存储要求的数，形如(1,3,2,4)。

n为数组中元素个数。

fac[x]为x!

*function cantor:longint:;

*var

*i,j,temp:integer;

*num:longint;

*begin

*num:=0;

*for i:=1 to n-1 do

*begin

*temp:=0;

*for j:=i+1 to n do

*if s[j]<s[ i ] then inc(temp);

*num:=num+fac[n-i]*temp;

*end;

*cantor:=num+1;

*end;

康托展开的代码（C语言）：

int fac[]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880};//...

long cantor(int s[],int n){

int i,j,temp,num;

num=0;

for(i=1;i<n;i++){

temp=0;

for(int j=i+1;j<=n;j++){

if(s[j]<s[i]) temp++;

}

num+=fac[n-i]*temp;

}

return (num+1);

}